【正文】 到引用源。 ),錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =3 錯誤 !未找到引用源。 +3x0Δx+Δx2,當 Δx 無限趨近于 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于 3 錯誤 !未找到引用源。 ,所以曲線在切點處的切線的斜率為 3 錯誤 !未找到引用源。 ,則所求切線方程可表示為 y錯誤 !未找到引用源。 =3 錯誤 !未找到引用源。 (xx0),因為切線過點 (1,1),所以 1錯誤 !未找到引用源。=3錯誤 !未找到引用源。 (x0+1),解得 x0=1 或 錯誤 !未找到引用源。 ,即所求的切線有兩條 ,方程分別是 y=3x+2 和 y=錯誤 !未找到引用源。 x錯誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 易誤以為點 (1,1)一定是切點 ,沒有討論點 (1,1)是切點和不是切點兩種情況 . 四、 課堂練習 1. 在下列曲線中 ,可以用割線逼近切線的方法作出過點 P 的切線的有 ②④ .(填序號 ) (第 1 題 ) 2. 求曲線 y=錯誤 !未找到引用源。 在點 (1,錯誤 !未找 到引用源。 )處的切線的斜率 . 解 設 P(1,錯誤 !未找到引用源。 ),Q(1+Δx,錯誤 !未找到引用源。 ),則割線 PQ 的斜率為kPQ=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 . 當 Δx 無限趨近于 0 時 ,kPQ 無限趨近于常數(shù) 錯誤 !未找到引用源。 ,從而曲線 y=f(x)在點 (1,錯誤 !未找到引用源。 )處的切線斜率為 錯誤 !未找到引用源。 . 3. 已知拋物線 y=ax2+bx7過點 (1,1),過點 (1,1)的拋物線的切線方程為 y=4x3,求 a,b的值 . 解 利用求切線斜率的方法可求出在 (1,1)的斜率為 2a+b,所以 錯誤 !未找到引用源。 可得a=4,b=12. 五、 課堂小結(jié) [8] 1. 知識層面 :主要學習了曲線上一點處的切線 . 2. 思想方法層面 :利用 “局部以直代曲 ”和 “無限逼近 ”的思想 ,用割線來逼近切線 . 3. 總結(jié)我們經(jīng)歷過的 “以直代曲 ”“無限逼近 ”的生活實例和數(shù)學實例 .[9] 第 3課時 瞬時速度與瞬時加速度 教學過程 一、 問題情境 在物理學中 ,運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度 ,它反映了物體在某段時間內(nèi)運動的快慢程度 ,那么 ,如何精確刻畫物體在某一時刻運動的快慢程度呢 ? 先看實例 .跳水運動員從 10m 跳臺騰空到入水的過程中 ,不同時刻的速度是不同的 .假設ts 后運動員相對于水面的高度為 H(t)=++10,試確定 t=2s 時運動員的速度 .[1] 二、 數(shù)學建構 問題 1 求出運動員在 2s 到 (即 t∈ [2,])的平均速度 . 解 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =(m/s). 問題 2:利用計算器 ,請分組算出更短的時間內(nèi)的平均速度 . 解 t∈ [2,],錯誤 !未找到引用源。 =。t∈ [2,],錯誤 !未找到引用源。=。t∈ [2,],錯誤 !未找到引用源。 =。t∈ [,2],錯誤 !未找到引用源。=。t∈ [,2],錯誤 !未找到引用源。 =。t∈ [,2],錯誤 !未找到引用源。=. 問題 3 觀察所得的數(shù)據(jù) ,你能發(fā)現(xiàn)當 Δt無限逼近于 0時 ,平均速度 錯誤 !未找到引用源。無限逼近于 什么 ?[2] 解 . 概念生成 一般地 ,如果當 Δt 無限趨近于 0 時 ,運動物體位移 S(t)的平均變化率 錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于一個常數(shù) ,那么這個常數(shù)稱為物體在 t=t0時的瞬時速度 ,也就是位移對于時間的瞬時變化率 . 問題 4 類比瞬時速度的概念 ,你能否概括出瞬時加速度的概念 ? 解 一般地 ,如果當 Δt 無限趨近于 0時 ,運動物體速度 v(t)的平均變化率 錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于一個常數(shù) ,那么這個常數(shù)稱為物體在 t=t0 時的瞬時加速度 ,也就是速度對于時間的瞬時變化率 .[3] 三、 數(shù)學運用 【 例 1】 (教材第 12 頁例 2)已知一輛轎車在公路上作加速直線運動 ,假設 ts時的速度為 v(t)=t2+3,求當 t=t0 s 時轎車的瞬時加速度 a.(見學生用書 P5) [處理建議 ] 利用瞬時加速度的定義 ,先求平均加速度 . [規(guī)范板書 ] 解 在 t0 到 t0+Δt 的時間內(nèi) ,轎車的平均加速度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2t0+Δt, 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 2t0,即 a= ,當 t=t0 s時轎車的瞬時加速度 為2t0. 變式 物體運動的速度 v 與時間 t 的關系是 v(t)=t2+4t,求 t=2 時物體的瞬時加速度 . 解 在 2 到 2+Δt的時間內(nèi) ,轎車的平均加速度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯 誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =8+Δt, 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 8,即 a= ,當 t=2 時轎車的瞬時加速度為 8. 【 例 2】 一作直線運動的物體 ,其位移 S與時間 t 的關系式是 S=3tt2.(見學生用書 P6) (1) 求此物體的初速度 。 (2) 求此物體在 t=2 時的瞬時速度 。 (3) 求 t=0 到 t=2 的平均速度 . [處理建議 ] 初速度是 t=0 時的瞬時速度 ,本題需先求出平均速度 ,然后利用瞬時速度的定義進行求解 . [規(guī)范板書 ] 解 在 t0 到 t0+Δt 的時間內(nèi) ,轎車的平均速度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =(32t0)Δt, 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → ,當 t=t0時轎車的瞬時速度為 32t0. (1) v(0)=3. (2) v(2)=1. (3) 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2. [題后反思 ] 本題應注意瞬時速度與平均速度的區(qū)別 . 變式 一質(zhì)點沿直線運動 ,運動方程為 S=10+8t4t2,其中 t 單位為 s,S 單位是 m. (1) 計算 [t,t+Δt]內(nèi)的平均速度 錯誤 !未找到引用源。 。 (2) 求當 t=0,1,2,3 時刻的速度 . [規(guī)范板書 ] 解 (1) 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,轎車的平均速度為 錯誤 !未找到引用源。=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =88t4Δt. (2) 由 (1)知 ,當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 88t,所以 ts時轎車的瞬時速度為 88t (m/s). t=0s 時的速度為 8 m/s,t=1 s 時的速度為 0 m/s,t=2 s 時的速度為 8 m/s,t=3 s時的速度為 16 m/s. 【 例 3】 某容器里裝有 1 L 純酒精 ,現(xiàn)以每秒 錯誤 !未找到引用源。 L 的速度往容器里注水 ,求酒精濃度在某時刻 t 的變化率 .(見學生用書 P6) [處理建議 ] 本題應找出濃度的瞬時變化率與瞬時速度的共同點 ,為導數(shù)的形式化定義作鋪墊 . [規(guī)范板書 ] 解 酒精濃度隨時間變化的表達式為 c(t)=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 , 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,酒精的平均濃度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 , 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 錯誤 !未找到引用源。 .所以 ,當 t s 時酒精的瞬時變化率為 錯誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 通過本題的講解 ,進一步讓學生體會瞬時變化率的本質(zhì) ,更好地理解概念 . 變式 設電量 Q 與時間 t 的函數(shù)關系為 Q=2t2+3t+1,其中 Q 的單位為 C,t 的單位為 s,求 t=3s 時的電流強度 . [處理建議 ] 賦予不同的實際背景 ,某時刻的電流強度即為電量的瞬時變化率 . [規(guī)范板書 ] 解 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,電量的平均變化率為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引 用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2Δt+4t+3. 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 4t+ 3s 時的電流強度為 15A. *【 例 4】 若一物體的運動方程是 S=5t+錯誤 !未找到引用源。 t2(位移單位 :m。時間單位 :s),則下述結(jié)論中正確的是 ①②④ .(填序號 ) ① 物體在時間段 [0,1]內(nèi)的平均速度是 錯誤 !未找到引用源。 m/s。 ② 物體在 t=1s 時的瞬時速度是 8 m/s。 ③ 物體在時間段 [0,1]內(nèi)經(jīng)過的位移是 8m。 ④ 物體在時間段 [0,1]內(nèi)經(jīng)過的位移是 錯誤 !未找到引用源。 m. [處理建議 ] 本題需注意平均速度與瞬時速度是兩個不同的概念 . 變式 若作直線運動的物體的速度 v(單位 :m/s)與時間 t(單位 :s)的關系為 v(t)=t2,則在前 3 s 內(nèi)的平均加速度是 3 m/s2,在 t=3 s 的瞬時加速度是 6 m/s2. 提示 前 3s 內(nèi)的平均加速度是 錯誤 !未找到引用源。 =3(m/s2). 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,物體的平均加速度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2t+Δt, 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 3s 時的瞬時加速度為 6 m/s2. [題后反思 ] 易誤以為前 3 s 內(nèi)的平均加速度是 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 (m/s2). 四、 課堂練習 1. 若一質(zhì)點沿直線運動的方程為 y=2x2+1(x表示時間 ,y表示位移 ),則該質(zhì)點從 x=1 到 x=2的平均速度為 6 . 提示 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =6. 2. 已知一物體的運動方程是 S=t3+2t(t(s)表示時間 ,S(m)表示位移 ),那么瞬時速度為 14 m/s的時刻是 2s . 提示 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,物體的平均速度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =3tΔt+3t2+2. 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 3t2+2,所以 ,時刻 t s 的瞬時速度為 3t2+3t2+2=14,t=2 s. 3. 若某物體的運動方程為 S=錯誤 !未找到引用源。 t43(t(s)表示時間 ,S(m)表示位移 ),則 t=5 s 時該物體的瞬時速度為 125 m/s. 提示 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,物體的平均速度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =t3+錯誤 !未找到引用源。(Δt)3+t(Δt)2+錯誤 !未找到引用源。 t2Δt,當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → t3. 所以 ,時刻 t s 的瞬時速度為 t3,由題意 ,當 t=5s 時 ,瞬時速度為 125 m/s. 五、 課堂小結(jié) 1. 平均速度的定義 . 2. 瞬時速度的 定義 . 3. 求瞬時速度和瞬時加速度的方法和過程 .[4] 第 4 課時 瞬時變化率 ——導數(shù) (1) 教學過程 一、 數(shù)學運用 【 例 1】 已知 f(x)=錯誤 !未找到引用源。 ,求曲線 y=f(x)在 x=錯誤 !未找到引用源。處的切線斜率 .(見學生用書 P8) [處理建議 ] 讓學生體會割線斜率無限逼近于切線斜率 ,熟悉求曲線 y=f(x)上一點P(x0,y0)處的切線斜率的步驟 :(1) 求差 f(x0+Δx)f(x0)。(2) 當 Δx(Δx 可正 ,也可負 )無限趨近于 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 趨近于某個常數(shù) k。(3) 曲線 y=f(x)上一點 P(x0,y0)處的切線斜率為 k. [規(guī)范板書 ] 解 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 = 錯誤 !未找到引用源。 . 當 Δx 無限趨近于 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于 錯誤 !未找到引用源。 ,所以曲線在 x=錯誤 !未找到引用源。 處的切線斜率是 錯誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 本題應注意分子有理化 ,再用逼近思想處理 . 變式 已知曲線 y=2x2 上一點 A(1,2),求點 A 處的切線的斜率與切線方程 . [規(guī)范板書 ] 解 設 A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),則割線 AB 的斜率為 kAB=錯誤 !未找到引用源。 =4+2Δx,當 Δx 無限趨近于 0 時 ,kAB 無限趨近于常數(shù) 4,從而曲線 y=f(x)在點 A(1,2)處的切線斜率為 4,所求切線方程為 4xy2=0. 【 例 2】 物體自由落體的運動方程為 S=S(t)=錯誤 !未找到引用源。 gt2,其中位移 S 的單位為 m,時間 t 的單位為 s,g= m/s2,求 t=3 s 時的瞬時速度 .(見學生用書 P8) [處理建議 ] 瞬時速度是位移對時間的瞬時變化率 . [規(guī)范板書 ] 解 取一小段時 間 [3,3+Δt],位移改變量 ΔS=錯誤 !未找到引用源。g(3+Δt)2錯誤 !未找到引用源。 g32=錯誤 !未找到引用源。 (6+Δt)Δt,平均速度 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未