【正文】 (x)=0 f39。(x)=0 f39。(x0)0,右側(cè) f39。(x0)0,右側(cè) f39。 極小值點 :已知函數(shù) f(x),設(shè) x2 是定義域內(nèi)一點 ,如果在 x2 附近的 所有的 x,都有 f(x)f(x2),就說函數(shù) f(x)在 x2處取得極小值 ,把 x2 稱為 f(x)的一個極小值點 . 2. 極大值 :稱 f(x1)為函數(shù) f(x)的一個極大值 。(x)0,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 。(x)=3x2a,函數(shù) f(x)=x3ax在 [1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù) ,則當(dāng) x∈ [1,+∞)時 ,f39。 . 四、 課堂練習(xí) 1. 設(shè) f(x)=x2(2x),則 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 錯誤 !未找到引用源。(x)0,g(x)=2錯誤 !未找到引用源。 3,g39。 ,k0. 由題意 f39。 (2) 當(dāng) xk 時 ,求證 :2 錯誤 !未找到引用源。 (x≠0,a∈ R)在 [2,+∞)上的導(dǎo)數(shù)的值不是負(fù)數(shù) ,求實數(shù) a 的取值范圍 . [處理建議 ] 讓學(xué)生分析 “不是負(fù)數(shù) ”包含正數(shù)和 0 兩種情況 ,之后根據(jù)題意來反推 . [規(guī)范板書 ] 解 ∵ f39。(x)0 ? 0x錯誤 !未找到引用源。 .由 f39。 ,故所求的的單調(diào)遞減區(qū)間為 錯誤 !未找到引用源。0(或 y39。在區(qū)間 (∞,2)上 ,切線的斜率為負(fù) ,函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 (∞,2)上為減函數(shù) . 問題 5 函數(shù) f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增 (或遞減 ),那么在該區(qū)間上必有 f39。 . 五、 課堂小結(jié) 1. 對于簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) ,要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu) ,關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系 ,適當(dāng)選取中間變量 ,利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 . 2. 一些根式函數(shù)或分母上是冪函數(shù)、分子為常數(shù)的分式函數(shù) ,通常經(jīng)過變形 ,轉(zhuǎn)化成冪函數(shù) ,這樣求導(dǎo)起來會比較方便 . 3. 求導(dǎo)的次序是由外向內(nèi) . 4. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是 :分解 —求導(dǎo) —相乘 —回代 . 第 9 課時 單調(diào)性 教學(xué)過程 一、 問題情境 導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性都是對函數(shù)上升和下降的變化趨勢的刻畫 ,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系呢 ? 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu) 問題 1 由函 數(shù) f(x)在區(qū)間 (a,b)上是增函數(shù) ,對于任意 x1,x2∈ (a,b),當(dāng) x1x2時 ,函數(shù)f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的平均變化率的正負(fù)如何 ?[2] 解 導(dǎo)數(shù)大于 0 與函數(shù)遞增密切相關(guān) . 問題 2 函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a,b)上是減函數(shù) ,你又能推出什么結(jié)論呢 ? 解 導(dǎo)數(shù)小于 0 與函數(shù)遞減密切相關(guān) . 問題 3 怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 ?[3] 解 一般地 ,我們有以下結(jié)論 : 對于函數(shù) y=f(x), 如果在某區(qū)間上 f39。(18)=錯誤 !未找到引用源。錯誤 !未找到引用源。 . 4. 若某港口在一天 24 h內(nèi)潮水高度近似地滿足關(guān)系 S(t)=3sin錯誤 !未找到引用源。=2e2x1. 3. 函數(shù) y=x . 【 例 2】 求曲線 y=sin2x 在點 P錯誤 !未找到引用源。 . [ 題后反思 ] 熟 練 掌 握 求 導(dǎo) 法 則 后 , 本 例 可 以 直 接 寫 成y39。x=y39。 (3) 求導(dǎo)的次序是由外向內(nèi) 。x=y39。3=錯誤 !未找到引用源。u (2) y=cos(12x). (見學(xué)生用書 P15) [處理建議 ] 讓學(xué)生練習(xí)對復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解 ,再運用法則求導(dǎo) . [規(guī)范板書 ] 解 (1) 函數(shù) y=錯誤 !未找到引用源。u. 法則理解 1. 復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù) ,等于已知函數(shù)對中間變量 u 的導(dǎo)數(shù) ,乘以中間變量 u 對自變量 x 的導(dǎo)數(shù) 。x=y39。=2,因而有 y39。39。x. 問題 2 (教材第 23 頁 )求函數(shù) y=sin2x 的導(dǎo)數(shù) . 解 一方面 ,y39。x=(3x1)39。= 18x6=6(3x1). 另一方面 ,函數(shù) y=(3x1)2 可由 y=u2,u=3x1 復(fù)合而成 ,y 關(guān)于 u 的導(dǎo)數(shù)記為 y39。 ,3),則此曲線在該點的切線方程是 4xy1=0. 4. 若曲線 y=x2+ax+b 在點 (0,b)處的切線方程是 xy+1=0,則 a= 1 , b= 1 . 五、 課堂小結(jié) 1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 . 2. 法則適用于兩個可導(dǎo)函數(shù) 的和、差、積、商 。=2xcosxx2sinx. 2. 函數(shù) y=錯誤 !未找到引用源。=f39。 =錯誤 !未找到引用源。 , 所以 y39。=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。=18x28x+9. 變式 2 求 y=錯誤 !未找到引用源。=(2x2+3)39。(t)=錯誤 !未找到引用源。(t)=錯誤 !未找到引 用源。(x)=(xsinx)39。 =3x23x6. [題后反思 ] 運用函數(shù)的和差法則求導(dǎo)的一般步驟 :先用求導(dǎo) 法則轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再用導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行運算 . 變式 求 y=2x33x2+5x4 的導(dǎo)數(shù) . [規(guī)范板書 ] 解 y39。=(x2)39。 (2) g(x)=x3錯誤 !未找到引用源。 (g(x)≠0). 法則理解 (1) 法則適用于兩個可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商 。=f39。=f39。,[f(x)g(x)]39。(x)+g39。(x),g39。 =錯誤 !未找到引用源。(2) y39。 m/s. 五、 課堂小結(jié) 1. 熟記常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式 . 2. 靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)問題 . 第 7課時 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)過程 一、 問題情境 問題 1 分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : (1) y=x2。 . 提示 利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 . 3. 若質(zhì)點的運動方程是 S=錯誤 !未找到引用源。④ 函數(shù) y=x5 的導(dǎo)數(shù)值恒非負(fù) .其中正確的命題是 ③④ .(填序號 ) 提示 利用導(dǎo)數(shù)的概念及常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 . 2. 設(shè) f(x)=sinx,則 f39。② 若函數(shù) f(x)=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 ln 2=ln 4 得出 x0=1,即該點坐標(biāo)為 (1,2). [題后反思 ] 一般說來 ,過此點的切線意味著該點不一定是切點 .但本題有其特殊性 ,切線只可能與曲線有一個交點 .所以對于本題 ,該點即為切點 . 變式 在拋物線 y=x2上求一點 P,使點 P到直線 xy1=0的距離最短 ,并求出這個最短距離 . [規(guī)范板書 ] 解 設(shè) P(x0,錯誤 !未找到引用源。 =3x0+1,x0=錯誤 !未找到引用源。(x0)=3a錯誤 !未找到引用源。 ,切線方程為 x+4y4=0. 【 例 2】 若直線 y=4x+b 是函數(shù) y=x2 圖象的一條切線 ,求 b 及其切點坐標(biāo) .(見學(xué)生用書P12) [處 理建議 ] 設(shè)出切點坐標(biāo) ,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題 . [規(guī)范板書 ] 解 設(shè)切點坐標(biāo)為 (x0,錯誤 !未找到引用源。 處的切線的方程 . [規(guī)范板書 ] y39。 ,即切線方程為 錯誤 !未找到引用源。 處切線的方程 .(見學(xué)生用書 P12) [處理建議 ] 利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求出在該點處的切線斜率 ,再利用點斜式求出切線方程 . [規(guī)范板書 ] 解 y39。 (sinx)39。= ex 。=錯誤 !未找到引用源。 ⑨ (ax)39。 )39。 ⑥ 錯誤 !未找到引用源。 ④ (x2)39。 ② (C)39。 ,所以 f39。 =錯誤 !未找到引用源。(x)=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。(x)=3x2. ④ f(x)=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。(x)=0。 =錯誤 !未找到引用源。 ,令 Δx→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。(1)。(x0)。 =錯誤 !未找到引用源。(1)=2,則 a= 1 . 提示 f39。(x0)=k. 變式 已知 f(x+1)f(1)=2x2+x,求 f39。(x0). [處理建議 ] 本題利用導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行推導(dǎo) . [規(guī)范板書 ] 解 錯誤 !未找到引用源。(q)=3+8q,c39。(x)在 x=2 處的函數(shù)值 . 變式 已知成本 c與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式為 c(q)=3q+4q2,則當(dāng)產(chǎn)量 q=6時 ,求邊際成本c39。 =3x22+3xΔx+(Δx)2, 當(dāng) Δx→ 0 時 ,3x22+3xΔx+(Δx)2→ 3x22,所以 f39。 =3x2+3xΔx+(Δx)2, 當(dāng) Δx→ 0 時 ,3x2+3xΔx+(Δx)2→ 3x2,所以 f(x)在點 P 處的導(dǎo)數(shù)等于 3x2. 由題可知 ,3x2=3?x=1 或 1,所以切線方程為 3xy2=0 或 3xy+2=0. [題后反思 ] 本題應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題 . 【 例 3】 已知 f(x)=x32x+1,求 f39。 . 【 例 2】 在曲線 y=x3上一點 P處作切線 ,使該切線與直線 y=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2a+Δx, 當(dāng) Δx→ 0 時 ,2a+Δx→ 2a,所以 f(x)在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)等于 2a. [題后反思 ] 鞏固強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵 ,使學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì) .通過此例 ,我們由函數(shù)f(x)在 x=x0 處的導(dǎo)數(shù)引出函數(shù)在區(qū)間 (a,b)上的導(dǎo)函數(shù)的概念 . 變式 求函數(shù) y=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。(x0)就是函數(shù) f39。(x)是不是一個函數(shù) ? 解 若函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)任一點都可導(dǎo) ,則 f(x)在各點的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量 x的變化而變化 ,因而也是自變量 x的函數(shù) ,該函數(shù)稱為 f(x)的導(dǎo)函數(shù) ,記作 f39。 。(x0).[1] 鞏固概念 問題 3 導(dǎo)數(shù) f39。 時的瞬時速度 ,也就是位移對于時間的瞬時變化率 . 問題 2 將上述問題中的函數(shù) H(t)用 y=f(x)來表示 ,那么函數(shù) y=f(x)在 x=x0處的瞬時變化率又該如何表示呢 ? 解 如果當(dāng) Δx 無限趨近于 0 時 ,函數(shù) y=f(x)的平均變化率 錯誤 !未找到引用源。 當(dāng) t0≤t≤t0+Δt 時 ,質(zhì)點的平均加速度為 錯誤 !未找到引用源。當(dāng) t=t0 時 ,質(zhì)點的瞬時加速度為 10 (m/s2). 提示 當(dāng) t0≤t≤t0+Δt 時 ,錯誤 !未找到引用源。 解得 錯誤 !未找到引用源。 ,錯誤 !未找到引用源。 ,即 P 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源?；蚯悬c坐標(biāo)為 (1,12),此時切線方程為 4xy8=0. 變式 已知曲線 y=x2 上過某一點的切線分別滿足下列條件 ,求此點 : (1) 平行于直線 y=4x5。 =8t+2+4Δt,當(dāng) Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 g(6+Δt),當(dāng) Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。32=錯誤 !未找到引用源。 =4+2Δx,當(dāng) Δx 無限趨近于 0 時 ,kAB 無限趨近于常數(shù) 4,從而曲線 y=f(x)在點 A(1,2)處的切線斜率為 4,所求切線方程為 4xy2=0. 【 例 2】 物體自由落體的運動方程為 S=S(t)=錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于 錯誤 !未找到引用源。(3) 曲線 y=f(x)上一點 P(x0,y0)處的切線斜率為 k. [規(guī)范板書 ] 解 錯誤 !未找到引用源。 ,求曲線 y=f(x)在 x=錯誤 !未找到引用源。 =t3+錯誤 !未找到引用源。 → 3t2+2,所以 ,時刻 t s 的瞬時速度為 3t2+3t2+2=14,t=2 s. 3. 若某物體的運動方程為 S=錯誤 !未找到引用源。 =6. 2. 已知一物體的運動方程是 S=t3+2t(t(s)表示時間 ,S(m)表示位移 ),那么瞬時速度為 14 m/s的時刻是 2s . 提示 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,物體的平均速度為 錯誤 !未找到引用源。 → 3s 時的瞬時加速度為 6 m/s2. [題后反思 ] 易誤以為前 3 s 內(nèi)的平均加速度是 錯誤 !未找到引用源。 =3(m/s2). 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,物體的平均加速度為 錯誤 !未找到引用源。 ② 物體在 t=1s 時的瞬時速度是 8 m/s。 → 4t+ 3s 時的電流強(qiáng)度為 15A. *【 例 4】 若一物體的運動方程是 S=5t+錯誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 通過本題的講解 ,進(jìn)一步讓學(xué)生體會瞬時變化率的本質(zhì) ,更好地理解概念 . 變式 設(shè)電量 Q 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系為 Q=2t2+3t+1,其中 Q 的單位為 C,t 的單位為 s,求 t=3s 時的電流強(qiáng)度 . [處理建議 ] 賦予不同的實際背景 ,某時刻的電流強(qiáng)度即為電量的瞬時變化率 . [規(guī)范板書 ] 解 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,電量的平均變化率為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2. [題后反思 ] 本題應(yīng)注意瞬時速度與平均速度的區(qū)別 . 變式 一質(zhì)點沿直線運動 ,運動方程為 S=10+8t4t2,其中 t 單位為 s,S 單位是 m. (1) 計算 [t,t+Δt]內(nèi)的平均速度 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 → 8,即 a= ,當(dāng) t=2 時轎車的瞬時加速度為 8. 【 例 2】 一作直線運動的物體 ,其位移 S與時間 t 的關(guān)系式是 S=3tt2.(見學(xué)生用書