【正文】 (x) f39。(2) 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。 =4,解得 k=1. (2) 令 g(x)=2錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 如果在某區(qū)間上 f39。 的導(dǎo)數(shù) y39。u39。3=錯(cuò)誤 !未找到引用源。u39。x=y39。(x)=2f(x)f39。=ln x+1. 變式 4 求 y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。教師在學(xué)生的交流中 ,了解學(xué)生的思考過程 ,投影學(xué)生的解題過程 ,糾正出現(xiàn)的錯(cuò)誤 ,同時(shí)強(qiáng)調(diào)書寫格式的規(guī)范 . [規(guī)范板書 ] 解 (1) f39。 等于什么 ? 法則 1 兩個(gè)函數(shù)的和 (或差 )的導(dǎo)數(shù) ,等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 (或差 ),即[f(x)177。(3) y39。(x)=0。 =1,又因?yàn)辄c(diǎn) (x0,a錯(cuò)誤 !未找到引用源。 處切線的斜率 k=sin 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ⑩ (lo 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ③ (x)39。 → 錯(cuò)誤 !未找到引用源。(x)=1. ② f(x)=x2. 解 因?yàn)?錯(cuò)誤 !未找到引用源。(1)。 . 當(dāng) Δx→ 0 時(shí) ,上式無限逼近于 f39。(2).(見學(xué)生用書 P10) [處理建議 ] 學(xué)生學(xué)習(xí)一種新的記號需要一個(gè)理解適應(yīng)的過程 ,因此 ,對于本題 ,給予學(xué)生時(shí)間思考 . [規(guī)范板書 ] 解 因?yàn)?錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。(x0)的幾何意義是曲線 y=f(x)在點(diǎn) P(x0,f(x0))處的切線的斜率 . 問題 4 通過概念中導(dǎo)數(shù)的形式能否概括出求 f(x)在 x=x0 處的導(dǎo)數(shù)的一般步驟 ? 解 ① 求 Δy。當(dāng) t=t0時(shí) ,質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為 10t0 (m/s)。 (3) 與 x 軸成 135176。g(3+Δt)2錯(cuò)誤 !未找到引用源。 t2Δt,當(dāng) Δt→ 0 時(shí) ,錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 → 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 → ,當(dāng) t=t0時(shí)轎車的瞬時(shí)速度為 32t0. (1) v(0)=3. (2) v(2)=1. (3) 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 無限趨近于一個(gè)常數(shù) ,那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在 t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度 ,也就是位移對于時(shí)間的瞬時(shí)變化率 . 問題 4 類比瞬時(shí)速度的概念 ,你能否概括出瞬時(shí)加速度的概念 ? 解 一般地 ,如果當(dāng) Δt 無限趨近于 0時(shí) ,運(yùn)動(dòng)物體速度 v(t)的平均變化率 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 3. 已知拋物線 y=ax2+bx7過點(diǎn) (1,1),過點(diǎn) (1,1)的拋物線的切線方程為 y=4x3,求 a,b的值 . 解 利用求切線斜率的方法可求出在 (1,1)的斜率為 2a+b,所以 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,則所求切線方程可表示為 y錯(cuò)誤 !未找到引用源。 無限趨近于 2ax,所以曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率為 2ax. 由 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 +3x0Δx+Δx2. 變式 求函數(shù) f(x)=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =2, 函數(shù) g(x)在 [3,1]上的平均變化率為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 x,人影長度變化速率為v=錯(cuò)誤 !未找到引用源。=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,即所求的切線有兩條 ,方程分別是 y=3x+2 和 y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。t∈ [2,],錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =2t0+Δt, 當(dāng) Δt→ 0 時(shí) ,錯(cuò)誤 !未找到引用源。=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =2Δt+4t+3. 當(dāng) Δt→ 0 時(shí) ,錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 趨近于某個(gè)常數(shù) k。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =1?x0=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 當(dāng) t=t0 時(shí) ,質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為 10t0(m/s)。 無限趨近于一個(gè)常數(shù) A,則常數(shù) A 即為 f(x)在 x=x0 處的導(dǎo)數(shù) . 問題 5 f39。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。(2)就是函數(shù) f39。(1)=1. 四、 課堂練習(xí) 1. 設(shè) f(x)=ax2+3,若 f39。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。(x)=2x. ③ f(x)=x3. 解 因?yàn)?錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。=3x2。 (ex)39。 在點(diǎn) 錯(cuò)誤 !未找到引用源。(x0)=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 = 錯(cuò)誤 !未找到引用源。=2x+1. 問題 3 兩個(gè)函數(shù)的差的導(dǎo)數(shù) ,等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差嗎 ?[1] 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu) 問題 4 已知 f39。(x). 法則 2 兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù) ,等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù) ,加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二 個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,即 [f(x)g(x)]39。(x)=錯(cuò)誤 !未找到引用源。要求學(xué)生正確運(yùn)用公式 . 變式 1 用兩種方法求 y=(2x2+3)(3x2)的導(dǎo)數(shù) . [規(guī)范板書 ] 解法一 y39。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 3. 若函數(shù) y=2ax2+1過點(diǎn) (錯(cuò)誤 !未找到引用源。=2cos2x. 另一方面 ,函數(shù) y=sin2x 可由 y=sinu,u=2x 復(fù)合而成 ,y 關(guān)于 u 的導(dǎo)數(shù)記為 y39。 。x=(cosu)39。3=12u5=12(3x1)5= 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =0,則 f(x)為常數(shù) . 2. y39。 . [題后反思 ] 任何函數(shù)問題 ,定義域都是關(guān)鍵前提 . 【 例 3】 若函數(shù) f(x)=x2+錯(cuò)誤 !未找到引用源 。 , 當(dāng) x1 時(shí) ,g39。 Q 點(diǎn)處從左側(cè)到右側(cè)由下降變?yōu)樯仙?(函數(shù)由單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增 ),這時(shí)在點(diǎn) Q附近 ,點(diǎn) Q 的位置最低 .[1] 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu) 問題 1 上述的結(jié)論如果用數(shù)學(xué)語言該怎樣來描述 ?[2] 解 1. 極大值點(diǎn) :已知函數(shù) f(x),設(shè) x1是定義域內(nèi)一點(diǎn) ,如果在 x1 附近的所有的 x,都有f(x)f(x1),就說函數(shù) f(x)在 x1處取得極大值 ,把 x1 稱為 f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn) 。(x)0 f39。(x0)0,那么 f(x0)是極大值 。 . 2. 若函數(shù) f(x)=x3ax2+1 在 (0,2)內(nèi)單調(diào)遞減 ,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 [3,+∞). 3. 求函數(shù) f(x)=2x2lnx 的單調(diào)區(qū)間 . 解 增區(qū)間為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 3錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 本題也可直接利用函數(shù)的圖象得出 ,求導(dǎo)的方法不是唯一的方法 ,也不一定是最好的方法 ,但它是一種一般性的方法 .學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) ,是為了分析問題、解決問題的 ,從以上3 個(gè)例題中 ,可讓學(xué)生體會到導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的有效性和一般性 . 【 例 2】 求函數(shù) f(x)=3x22lnx 的單調(diào)區(qū)間 . [處理建議 ] 先考慮定義域 ,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識來求解 . [規(guī)范板書 ] 解 定義域?yàn)?(0,+∞),f39。 cos 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 處的切線方程 .(見學(xué)生用書 P16) [處理建議 ] 學(xué)生討論、判斷 ,并且由學(xué)生給出理由 . [規(guī)范板書 ] 解 設(shè) f(x)=sin2x,則 f39。 (4) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是 :分解 —求導(dǎo) —相乘 —回代 . 變式 求函數(shù) y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。u39。x=y39。u,y39。 . *【 例 3】 (教材第 22 頁練習(xí) 5 的變式 )已知函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)是 f39。 的導(dǎo)數(shù) . [規(guī)范板書 ] 解 y39。=(x)39。兩個(gè)不可導(dǎo)函數(shù)和、差、積、商不一定不可導(dǎo) . (2) [Cf(x)]39。(x).即兩個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù) ,等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 . 問題 5 可以怎樣驗(yàn)證大家的結(jié)論 ?[3] 問題 6 你能證明嗎 ?[4] 問題 7 已知 f39。(2) y=x。 ,所以 P錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ),由 f39。=cosx。=錯(cuò)誤 !未找到引用源。(x)=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 解 因?yàn)?錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =k,當(dāng) Δx→ 0時(shí) ,錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =4x+3+2Δx. 當(dāng) Δx→ 0 時(shí) ,4x+3+2Δx→ 4x+3,即 f39。(6)=51. [題后反思 ] c(x)在 x=a 處的導(dǎo)數(shù) c39。 5垂直 ,求此切線的方程 .(見學(xué)生用書 P10) [處理建議 ] 曲線在某點(diǎn)的切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值 ,本題結(jié)合兩垂直直線的斜率關(guān)系進(jìn)行解題 . [規(guī)范板書 ] 解 設(shè)點(diǎn) P(x,x3),錯(cuò)誤 !未找到引用源。(x)在 x=x0 處的函數(shù)值 ,而不是 f(x0)的導(dǎo)數(shù) . 三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用 【 例 1】 (教材第 13 頁例 3)已知 f(x)=x2+2.(見學(xué)生用書 P9) (1) 求 f(x)在 x=1 處的導(dǎo)數(shù) 。 無限趨近于一個(gè)常數(shù) ,那么這個(gè)常數(shù)稱為函數(shù)在 x=x0 處的瞬時(shí)變化率 . 概念生成 設(shè)函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 (a,b)上有定義 ,x0∈ (a,b),若 Δx 無限趨近于 0 時(shí) ,比值 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . *【 例 4】 設(shè)函數(shù) f(x)=x33ax2+3bx的圖象與直線 12x+y1=0 相切于點(diǎn) (1,11),求 a,b的值 . [處理建議 ] 利用切點(diǎn)坐標(biāo)既滿足曲線方程也滿足切線方程來求解 . [規(guī)范板書 ] 解 利用導(dǎo)數(shù)的定義可得 f39。 → 8t+2,所以 ,時(shí)刻 ts 的瞬時(shí)速度為 8t+2,由題意 ,物體在第 5s末的瞬時(shí)速度是 42 m/s,在運(yùn)動(dòng)開始時(shí)的速度為 2 m/s. 【 例 3】 如果曲線 y=x3+x10 的某一切線與直線 y=4x+3 平行 ,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程 .(見學(xué)生用書 P8) [處理建議 ] 曲線在某點(diǎn)的切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)處 的導(dǎo)數(shù)值 . [規(guī)范板書 ] 解 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 (x,x3+x10), 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,所以曲線在 x=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 t43(t(s)表示時(shí)間 ,S(m)表示位移 ),則 t=5 s 時(shí)該物體的瞬時(shí)速度為 125 m/s. 提示 在 t 到 t+Δt 的時(shí)間內(nèi) ,物體的平均速度為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ③ 物體在時(shí)間段 [0,1]內(nèi)經(jīng)過的位移是 8m。 , 在 t 到 t+Δt 的時(shí)間內(nèi) ,酒精的平均濃度為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 (2) 求此物體在 t=2 時(shí)的瞬時(shí)速度 。t∈ [,2],錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ),則割線 PQ 的斜率為kPQ=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。(2)當(dāng) Δx(Δx 可正 ,也可負(fù) )無限趨近于 0時(shí) ,錯(cuò)誤 !未找到引用源。 無限趨近于點(diǎn) P(x,f(x))處切線的斜率 .[6] 三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用 【 例 1】 用割線逼近切線的方法作出下列曲線在點(diǎn) P 處的切線 .(見學(xué)生用書 P3) (例 1(1)) (例 1(2)) (1) 初中平面幾何中圓的切線的定義是什么 ? (2) 圖 (1)中和圖 (2)中切線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是多少 ?公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否適用于一般曲線的切線的定義的討論 ?你能否用函數(shù)曲線的切線舉出反例 ? [處理建議 ] 讓學(xué)生親自作圖 ,從圖形觀察出問題的答案 ,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想 . [規(guī)范板書 ] 解 (1) 與圓只有 1 個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為圓的切線 . (2) 圖 (1)中 1 個(gè) 。 =5. 變式 已知函數(shù) f(x)=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 (3) 函數(shù)的平均變化率 . [處理建議 ] 根據(jù)定義來求解 . [規(guī)范板書 ] 解 (1)Δx==. (2) Δy=(121)=. (3)錯(cuò)誤 !未找到引用源。 (2) 函數(shù)的增量 Δy。 =6, 在 [1,]上的平均變化率為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 當(dāng)點(diǎn) Q 無限逼近點(diǎn) P 時(shí) ,直線 PQ 最終就成為在點(diǎn) P 處最逼近曲線的直線 l,這條直線 l就稱為曲線在點(diǎn) P 處的切線 .[5] 問題 4 對比平均變化率這一近似刻畫曲線在某個(gè) 區(qū)間上的變化趨勢的數(shù)學(xué)模型 ,在這里平均變化率表現(xiàn)為什么 ?我們又用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫曲線上 P 點(diǎn)處的變化趨勢呢 ? 由切線的概念來求切線斜率 ,割線斜率無限逼近即成切線斜率 .當(dāng) Δx 無限趨近于 0 時(shí) ,錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 ),錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ),Q(1+Δx,錯(cuò)誤 !未找到引用源。=。 → 8,即 a= ,當(dāng) t=2 時(shí)轎車的瞬時(shí)加速度為 8. 【 例 2】 一作直線運(yùn)動(dòng)的物體 ,其位移 S與時(shí)間 t 的關(guān)系式是 S=3tt2.(見學(xué)生用書 P6) (1) 求此物體的初速度 。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ② 物體在 t=1s 時(shí)的瞬時(shí)速度是 8 m/s。 → 3t2+2,所以 ,時(shí)刻 t s 的瞬時(shí)速度為 3t2+3t2+2=14,t=2 s. 3. 若某物體的運(yùn)動(dòng)方程為 S=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 無限趨近于 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =8t+2+4Δt,當(dāng) Δt→ 0 時(shí) ,錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,錯(cuò)誤 !未找到引用源。 時(shí)的瞬時(shí)速度 ,也就是位移對于時(shí)間的瞬時(shí)變化率 . 問題 2 將上述問題中的函數(shù) H(t)用 y=f(x)來表示 ,那么函數(shù) y=f(x)在 x=x0處的瞬時(shí)變化率又該如何表示呢 ? 解 如果當(dāng) Δx 無限趨近于 0 時(shí) ,函數(shù) y=f(x)的平均變化率 錯(cuò)誤 !未找到引用源。(x0)就是函數(shù) f39。 . 【 例 2】 在曲線 y=x3上一點(diǎn) P處作切線 ,使該切線與直線 y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。(q)=3+8q,c39。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。(x)=3x2. ④ f(x)=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,所以 f39。 )39。 (sinx)39。 ,切線方程為 x+4y