【正文】 (x) f39。如果f39。(x)0,得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 . 3. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ,求導(dǎo)的方法不是唯一的方法 ,也不一定是最好的方法 ,但它是一種一般性的方法 .對于不熟悉的函數(shù) ,常常利用導(dǎo)數(shù)法來研究函數(shù)的單調(diào)性 . 第 10 課時 極大值與極小值 (1) 教學(xué)過程 一、 問題情境 (圖 1) 觀察給定函數(shù)圖象 ,在 P 和 Q 兩側(cè)圖象的單調(diào)性變化 : P 點處從左側(cè) 到右側(cè)由上升變?yōu)橄陆?(函數(shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減 ),這時在點 P 附近 ,點 P 的位置最高 。 ,減區(qū)間為 錯誤 !未找到引用源。 錯誤 !未找到引用源。 . [規(guī)范板書 ] 解 (1) f39。 ,單調(diào)減區(qū)間為 錯誤 !未找到引用源。(x)=6x錯誤 !未找到引用源。(x)0 嗎 ? 上述的條件和結(jié)論對調(diào)后 ,結(jié)論正確嗎 ?如果不正確 ,你能舉出反例嗎 ?[4] 概念理解 1. 若某個區(qū)間內(nèi)恒有 y39。 =錯誤 !未找到引用源。(t)=3cos 錯誤 !未找到引用源。(x)=2cos2x,故曲線在點 P(π,0)處的切線方程為2x+yπ=0. 四、 課堂練習(xí) 1. 函數(shù) y=cos(12x)的導(dǎo)數(shù) y39。=4u5 的導(dǎo)數(shù) . [ 規(guī)范板書 ] 解 y= 錯誤 !未 找 到 引 用 源 。u39。x=錯誤 !未找到引用源。 3. 法則可以推廣到兩個以上的中間變量 ,但不要求掌握 . 三、 數(shù)學(xué)運用 【 例 1】 (教材第 24 頁例 2)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : (1) y=錯誤 !未找到引用源。uu39。=(2sinxcosx)39。u=2u,將 u 關(guān)于 x 的導(dǎo)數(shù)記為 u39。=錯誤 !未找到引用源。(x),則函數(shù) [f(x)]2 的導(dǎo)數(shù)為 2f39。 =錯誤 !未找到引用源。=錯誤 !未找到引用源。 . 例 2 解法二可由學(xué)生的探究活動產(chǎn)生 ,教師作適當(dāng)?shù)狞c撥 . 歸納根據(jù)函數(shù)的積商的法則求導(dǎo)的一般步驟 ,同時注意說明解法不唯一 。sinx+x(sinx)39。=2x+cosx. (2) g39。=Cf39。g39。(x),g39。 → 2x+1,所以 y39。(3) y=x2+x. 你能從以上計算結(jié)果 ,發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論 ? 解 (1) y39。錯誤 !未找到引用源。 ,d=錯誤 !未找到引用源。 ),由 f39。(x0)=2x0=4得出 x0=2,所以切點坐標(biāo)為 (2,4),故 b=4. [題后反思 ] 本題應(yīng)抓住切點的雙重特性 :點既在曲線上 ,也在切線上 . 變式 若直線 y=3x+1 是曲線 y=ax3 的切線 ,求 a 的值 . [規(guī)范板書 ] 解 設(shè)切點坐標(biāo)為 (x0,a錯誤 !未找到引用源。 π1=0. [題后反思 ] 對于一些常見函數(shù)的求導(dǎo)問題 ,可以直接利用公式解題 . 變式 求曲線 y=錯誤 !未找到引用源。 (cosx)39。 (a0且 a≠1)。 . 對于基本初等函數(shù) ,有下面的求導(dǎo)公式 (教師直接給出公式 ): ⑧ (xα)39。 ⑤ (x3)39。 . 問題 2 你能根據(jù)上述 ② ~⑤ 發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論 ? 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : ① (kx+b)39。 . 解 因為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 → 2x,所以 f39。 → k,所以 f39。(0). 五、 課堂小結(jié) 1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 . 2. 導(dǎo)數(shù)的物理意義 . 3. 由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟 . 第 6課時 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)過程 一、 問題情境 前面我們用割線逼近切線的方法引入了導(dǎo)數(shù)的概念 ,那么 ,如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢 ? 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu) 問題 1 回顧前面所學(xué)內(nèi)容 ,能否歸納出求導(dǎo)數(shù)的一般步驟 ? 解 給定函數(shù) y=f(x),計算 錯誤 !未找到引用源。(x)=4x+3. 3. 若函數(shù) y=f(x)在點 x∈ (1,1)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為 f39。 =2x+1, 當(dāng) x→ 0 時 ,2x+1→ 1,所以 f39。(a)稱為生產(chǎn)規(guī)模為 a 時的邊際成本值 . *【 例 4】 已知 f(x)=f(x)對任意實數(shù) x 都成立 ,且 f39。(2)=10. [題后反思 ] f(x)在 x=2 處的導(dǎo)數(shù) f39。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 (2) 求 f(x)在 x=a 處的導(dǎo)數(shù) . [處理建議 ] 本題要求學(xué)生表述格式規(guī)范化 . [規(guī)范板書 ] 解 (1) 因為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =10t0+5Δt(m/s)。(x)=3x26ax+3b,由于函數(shù) f(x)=x33ax2+3bx的圖象與直線 12x+y1=0 相切于點 (1,11),所以 f(1)=11,f39。錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 處的切線斜率是 錯誤 !未找到引用源。(2) 當(dāng) Δx(Δx 可正 ,也可負(fù) )無限趨近于 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 (m/s2). 四、 課堂練習(xí) 1. 若一質(zhì)點沿直線運動的方程為 y=2x2+1(x表示時間 ,y表示位移 ),則該質(zhì)點從 x=1 到 x=2的平均速度為 6 . 提示 錯誤 !未找到引用源。 ④ 物體在時間段 [0,1]內(nèi)經(jīng)過的位移是 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 (2) 求當(dāng) t=0,1,2,3 時刻的速度 . [規(guī)范板書 ] 解 (1) 在 t 到 t+Δt 的時間內(nèi) ,轎車的平均速度為 錯誤 !未找到引用源。 (3) 求 t=0 到 t=2 的平均速度 . [處理建議 ] 初速度是 t=0 時的瞬時速度 ,本題需先求出平均速度 ,然后利用瞬時速度的定義進(jìn)行求解 . [規(guī)范板書 ] 解 在 t0 到 t0+Δt 的時間內(nèi) ,轎車的平均速度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =。 =。 =錯誤 !未找到引用源。 (x0+1),解得 x0=1 或 錯誤 !未找到引用源。 =3 錯誤 !未找到引用源。 ),錯誤 !未找到引用源。 趨近于某個常數(shù) k。 =錯誤 !未找到引用源。圖 (2)中 2 個 。 =錯誤 !未找到引用源。 ,計算函數(shù) f(x)在區(qū)間 [1,2]上的平均變化率 . [規(guī)范板書 ] 解 在 [1,2]上的平均變化率為 錯誤 !未找到引用源。 ,得 y=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 . 概念理解 1. 具體計算函數(shù) f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的平均變化率可用 錯誤 !未找到引用源。4 月 18 日到 4 月 20日的日平均變化率為 . 從形的角度 :比較斜率的大小 .[3] 三、 數(shù)學(xué)運用 【 例 1】 設(shè)函數(shù) f(x)=x21,當(dāng)自變量 x 由 1 變到 時 ,求 : (1) 自變量的增量 Δx。 =2, 函數(shù) g(x)在 [0,5]上的平均變化率為 錯誤 !未找到引用源。 =10, 在 [1,2]上的平均變化率為 錯誤 !未找到引用源。 在區(qū)間 錯誤 !未找到引用源。繼續(xù)放大 ,曲線在點 P 附近將逼近一條確定的直線 l,這條直線是過點 P 的所有直線中最逼近曲線的一條直線 . 問題 2 “幾乎成了一條直線 ”,這么一條特殊的直線有明確位置么 ?又為什么說是 “幾乎 ”呢 ? (圖 3) 解 點 P 附近可以用這條直線 l 代替曲線 ,用直線 l 的斜率來刻畫曲線經(jīng)過 P 點時的變化趨勢 . 問題 3 怎樣找到經(jīng)過曲線上一點 P 處最逼近曲線的直線 l 呢 ?以右圖為例 . 解 隨著點 Q 沿曲線向點 P 運動 ,直線 PQ 在點 P 附近越來越逼近曲線 .[4] 概念生成 動畫演示 ,觀察點 Q 的運動 ,直線 PQ 的運動 ,直線 PQ 斜率的變化 ,從而生成概念 . (圖 4) (圖 5) Q 為曲線上不同于點 P 的一點 ,這時 ,直線 PQ 稱為曲線的割線 。 ,當(dāng) Δx 無限趨近于 0 時 ,kPQ無限趨近于常數(shù) 1,從而曲線 y=f(x)在點 P(1,1)處的切線斜率為 1. 【 例 3】 已知曲線 y=錯誤 !未找到引用源。 ,解得 c1=9,c2=25,所以直線 l 的方程為 4x+y+9=0 或 4x+y25=0. [題后反思 ] 進(jìn)一步讓學(xué)生體會割線斜率無限逼近于切線斜率 ,熟悉求曲線 y=f(x)上一點 P(x0,y0)處的切線的步驟 :(1) 求差商 錯誤 !未找到引用源。 可求得 a=錯誤 !未找到引用源。 =2x0(3x0),解得 x0=1或 5,即所求的切線有兩條 ,方程分別是 y=2x1 和 y=10x25. [題后反思 ] 本題會誤以為點 P(3,5)是切 點 ,導(dǎo)致過點 P(3,5)處的切線斜率為 6 的錯誤 . 變式 求曲線 y=x3 的過點 (1,1)的切線方程 . [規(guī)范板書 ] 解 設(shè)所求切線的切點坐標(biāo)為 (x0,錯誤 !未找到引用源。 =3 錯誤 !未找到引用源。 )處的切線的斜率 . 解 設(shè) P(1,錯誤 !未找到引用源。 可得a=4,b=12. 五、 課堂小結(jié) [8] 1. 知識層面 :主要學(xué)習(xí)了曲線上一點處的切線 . 2. 思想方法層面 :利用 “局部以直代曲 ”和 “無限逼近 ”的思想 ,用割線來逼近切線 . 3. 總結(jié)我們經(jīng)歷過的 “以直代曲 ”“無限逼近 ”的生活實例和數(shù)學(xué)實例 .[9] 第 3課時 瞬時速度與瞬時加速度 教學(xué)過程 一、 問題情境 在物理學(xué)中 ,運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度 ,它反映了物體在某段時間內(nèi)運動的快慢程度 ,那么 ,如何精確刻畫物體在某一時刻運動的快慢程度呢 ? 先看實例 .跳水運動員從 10m 跳臺騰空到入水的過程中 ,不同時刻的速度是不同的 .假設(shè)ts 后運動員相對于水面的高度為 H(t)=++10,試確定 t=2s 時運動員的速度 .[1] 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu) 問題 1 求出運動員在 2s 到 (即 t∈ [2,])的平均速度 . 解 錯誤 !未找到引用源。t∈ [,2],錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于一個常數(shù) ,那么這個常數(shù)稱為物體在 t=t0 時的瞬時加速度 ,也就是速度對于時間的瞬時變化率 .[3] 三、 數(shù)學(xué)運用 【 例 1】 (教材第 12 頁例 2)已知一輛轎車在公路上作加速直線運動 ,假設(shè) ts時的速度為 v(t)=t2+3,求當(dāng) t=t0 s 時轎車的瞬時加速度 a.(見學(xué)生用書 P5) [處理建議 ] 利用瞬時加速度的定義 ,先求平均加速度 . [規(guī)范板書 ] 解 在 t0 到 t0+Δt 的時間內(nèi) ,轎車的平均加速度為 錯誤 !未找到引用源。 =8+Δt, 當(dāng) Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 L 的速度往容器里注水 ,求酒精濃度在某時刻 t 的變化率 .(見學(xué)生用書 P6) [處理建議 ] 本題應(yīng)找出濃度的瞬時變化率與瞬時速度的共同點 ,為導(dǎo)數(shù)的形式化定義作鋪墊 . [規(guī)范板書 ] 解 酒精濃度隨時間變化的表達(dá)式為 c(t)=錯誤 !未找到引用源。 .所以 ,當(dāng) t s 時酒精的瞬時變化率為 錯誤 !未找到引用源。 m/s。 =2t+Δt, 當(dāng) Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 =3tΔt+3t2+2. 當(dāng) Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → t3. 所以 ,時刻 t s 的瞬時速度為 t3,由題意 ,當(dāng) t=5s 時 ,瞬時速度為 125 m/s. 五、 課堂小結(jié) 1. 平均速度的定義 . 2. 瞬時速度的 定義 . 3. 求瞬時速度和瞬時加速度的方法和過程 .[4] 第 4 課時 瞬時變化率 ——導(dǎo)數(shù) (1) 教學(xué)過程 一、 數(shù)學(xué)運用 【 例 1】 已知 f(x)=錯誤 !未找到引用源。 . 當(dāng) Δx 無限趨近于 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 g =錯誤 !未找到引用源。的傾斜角 . [處理建議 ] 利用導(dǎo)數(shù)的概念及兩直線的位置關(guān)系來求解 . [規(guī)范板書 ] 解 設(shè) P(x0,y0)是滿足條件的點 . 錯誤 !未找到引用源 。 ,即 P 錯誤 !未找到引用源。當(dāng) t0≤t≤t0+Δt時 ,質(zhì)點的平均加速度為 10 (m/s2)。無限趨近于一個常數(shù) ,那么這個常數(shù)稱為物體在 錯誤 !未找到引用源。② 求 錯誤 !未找到引用源。(x0)? 解 f(x)在 x=x0 處的導(dǎo)數(shù) f39。 =錯誤 !未找到引用源。 ,所以 f(x)在 x=2處的導(dǎo)數(shù)等于錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =3+8q+4Δq,當(dāng) Δq→ 0時 ,3+8q+4Δq→ 3+8q,即 c39。(x0),所以 f39。(x)=4x+3 . 提示 因為 錯誤 !未找到引用源。 ③ 在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)為 f39。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 → 3x2,所以 f39。 ,所以 f39。 → 錯誤 !未找 到引用源。= 1 。 ⑦ (錯誤 !未找到引用源。 x)39。 。 =錯誤 !未找到引用源。 處的切線斜率為 錯誤 !未找到引用源。 )滿足切線方程 ,所以 a 錯 誤 !未找到引用源。 ,則曲線在點 P 處切線方程為 4x4y1=0,所以它與已知直線的距離 d=錯誤 !未找到引用源。③ 速度是動點位移函數(shù) S(t)對時間 t的導(dǎo)數(shù) 。 m/s. 提示 因為速度是動點位移函數(shù) S(t)對時間 t 的導(dǎo)數(shù) ,所以 v(t)=4t5,故質(zhì)點在 t=3s 時的速度為 錯誤 !未找