【正文】 誤 !未找到引用源。(x)=2x. ③ f(x)=x3. 解 因為 錯誤 !未找到引用源。(x)=k. 引申 :特別地 ,當 k=0 時 ,有 f39。 =錯誤 !未找到引用源。(x),則下列說法 正確的是 ④ .(填序號 ) ① 在 x=x0 處的導數(shù)為 f39。(1)=1. 四、 課堂練習 1. 設 f(x)=ax2+3,若 f39。(x0)=k(k≠0),求 f39。(2)就是函數(shù) f39。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于一個常數(shù) A,則常數(shù) A 即為 f(x)在 x=x0 處的導數(shù) . 問題 5 f39。 無限趨近于一個常數(shù) A,則稱 f(x)在 x=x0 處可導 ,并稱該常數(shù) A 為 f(x)在 x=x0 處的導數(shù) ,記作 f39。 當 t=t0 時 ,質(zhì)點的瞬時速度為 10t0(m/s)。(1)=12,解得 a=1,b=3. 變式 已知 f(x)=ax4+bx2+c 的圖象過點 (0,1),且在 x=1 處的切線方程是 y=x2,求a,b,c. [處理建議 ] 利用導數(shù)的幾何意義 ——函數(shù)在某點處的導數(shù)就等于在該點處的切線的斜率 ——來求解 . [規(guī)范板書 ] 解 由題意有 錯誤 !未找到引用源。 =1?x0=錯誤 !未找到引用源。 =3x2+1+3xΔx+(Δx)2,當 Δx→ 0時 ,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→ 3x2+1, 由題得 ,3x2+1=4?x=1 或 1. 所以切點坐標為 (1,8),此時切線方程為 4xy12=0。 =錯誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 本題應注意分子有理化 ,再用逼近思想處理 . 變式 已知曲線 y=2x2 上一點 A(1,2),求點 A 處的切線的斜率與切線方程 . [規(guī)范板書 ] 解 設 A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),則割線 AB 的斜率為 kAB=錯誤 !未找到引用源。 趨近于某個常數(shù) k。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 m. [處理建議 ] 本題需注意平均速度與瞬時速度是兩個不同的概念 . 變式 若作直線運動的物體的速度 v(單位 :m/s)與時間 t(單位 :s)的關系為 v(t)=t2,則在前 3 s 內(nèi)的平均加速度是 3 m/s2,在 t=3 s 的瞬時加速度是 6 m/s2. 提示 前 3s 內(nèi)的平均加速度是 錯誤 !未找到引用源。 =2Δt+4t+3. 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2t0+Δt, 當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。t∈ [,2],錯誤 !未找到引用源。t∈ [2,],錯誤 !未找到引用源。 . 當 Δx 無限趨近于 0 時 ,kPQ 無限趨近于常數(shù) 錯誤 !未找到引用源。 ,即所求的切線有兩條 ,方程分別是 y=3x+2 和 y=錯誤 !未找到引用源。 +3x0Δx+Δx2,當 Δx 無限趨近于 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。(3)曲線 y=f(x)上一點 P(x0,y0)處的切線方程為 yy0=k(xx0). 變式 若直線 y=3x+1 是曲線 y=ax2 的切線 ,求 a 的值 . [處理建議 ] 本題需注意切點既滿足曲線方程 ,又滿足切線方程 . [規(guī)范板書 ] 解 設切點為 (x,ax2),錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。不適用 . [題后反思 ] 強調(diào)曲線上一點處切線的斜率的定義 ,圓上一點處的切線只是曲線上一點處切線的特殊情況 .[7] 變式 曲線 y=x3 在點 (1,1)處的切線與曲線有幾個交點 ? [規(guī)范板書 ] 解 2 個 . 【 例 2】 (教材第 9 頁例 1)已知 f(x)=x2,求曲線 y=f(x)在 x=2 處的切線斜率 .(見學生用書 P4) [處理建議 ] 為求得在點 (2,4)處的切線斜率 ,我們從經(jīng)過點 (2,4)的任意一條直線 (割線 )入手 . [規(guī)范板書 ] 解 設 P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),則割線 PQ 的斜率為 kPQ=錯誤 !未找到引用源。=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 x,人影長度變化速率為v=錯誤 !未找到引用源。 =. [題后反思 ] 求平均變化率時關鍵在于理解定義 ,知道 Δx 與 Δy 分別指的是什么 . 【 例 2】 (教材第 7 頁例 4)已知函數(shù) f(x)=2x+1,g(x)=2x,分別計算在區(qū)間[3,1],[0,5]上 f(x)及 g(x)的平均變化率 .(見學生用書 P2) [處理建議 ] 可回顧 “必修 2”中關于直線斜率的內(nèi)容 ,讓學生體會 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 上的平均變化率就是直線 AB 的斜率 . 鞏固概念 問題 3 回到問題情境中 ,從數(shù)和形兩方面對平均變化率進行意義建構(gòu) . 解 從數(shù)的角度 :3 月 18 日到 4 月 18 日的日平均變化率約為 。 =2, 函數(shù) g(x)在 [3,1]上的平均變化率為 錯誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 幾何類應用題需觀察圖形 ,數(shù)形結(jié)合地考慮問題 . *【 例 4】 已知函數(shù) f(x)=2x2+1,分別計算函數(shù) f(x)在區(qū)間 [1,4],[1,2],[1,]上的平均變化率 . [處 理建議 ] 引導學生利用平均變化率的概念解題 . [規(guī)范板書 ] 解 在 [1,4]上的平均變化率為 錯誤 !未找到引用源。 +3x0Δx+Δx2. 變式 求函數(shù) f(x)=錯誤 !未找到引用源。 . 2. 平均變化率是曲線陡峭程度的 “數(shù)量化 ”,是一種粗略的刻畫 . 第 2 課時 曲線上一點處的切線 教學過程 一、 問題情境 平均變化率近似地刻畫了曲線在某個區(qū)間上的變化趨勢 ,提出問題 :如何 精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢 ?(點 P 附近的曲線的研究 )提出 “放大圖形 ”的樸素方法 .[3]展示下圖 : (圖 1) (圖 2) 二、 數(shù)學建構(gòu) 問題 1 觀察 “點 P 附近的曲線 ”,隨著圖形放大 ,你看到了怎樣的現(xiàn)象 ? 解 曲線在點 P 附近看上去幾乎成了直線 。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于 2ax,所以曲線在切點處的切線的斜率為 2ax. 由 錯誤 !未找到引用源。 =2x0(xx0),因為切線過點 P(3,5),所以 5錯誤 !未找到引用源。 ,則所求切線方程可表示為 y錯誤 !未找到引用源。 在點 (1,錯誤 !未找 到引用源。 . 3. 已知拋物線 y=ax2+bx7過點 (1,1),過點 (1,1)的拋物線的切線方程為 y=4x3,求 a,b的值 . 解 利用求切線斜率的方法可求出在 (1,1)的斜率為 2a+b,所以 錯誤 !未找到引用源。 =。 無限趨近于一個常數(shù) ,那么這個常數(shù)稱為物體在 t=t0時的瞬時速度 ,也就是位移對于時間的瞬時變化率 . 問題 4 類比瞬時速度的概念 ,你能否概括出瞬時加速度的概念 ? 解 一般地 ,如果當 Δt 無限趨近于 0時 ,運動物體速度 v(t)的平均變化率 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 → ,當 t=t0時轎車的瞬時速度為 32t0. (1) v(0)=3. (2) v(2)=1. (3) 錯誤 !未找到引用源。 → 88t,所以 ts時轎車的瞬時速度為 88t (m/s). t=0s 時的速度為 8 m/s,t=1 s 時的速度為 0 m/s,t=2 s 時的速度為 8 m/s,t=3 s時的速度為 16 m/s. 【 例 3】 某容器里裝有 1 L 純酒精 ,現(xiàn)以每秒 錯誤 !未找到引用源。 → 錯誤 !未找到引用源。時間單位 :s),則下述結(jié)論中正確的是 ①②④ .(填序號 ) ① 物體在時間段 [0,1]內(nèi)的平均速度是 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 t2Δt,當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 = 錯誤 !未找到引用源。g(3+Δt)2錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 (3) 與 x 軸成 135176。的傾斜角 ,所以 k=1,即 2x0=1?x0=錯誤 !未找到引用源。當 t=t0時 ,質(zhì)點的瞬時速度為 10t0 (m/s)。當 t=t0 時 ,質(zhì)點的瞬時加速度為 10(m/s2). 3. 已知曲線 y=x3 上過點 (2,8)的切線方程為 12xay16=0,則實數(shù) a 的值為 1 . 提示 將點 (2,8)代入切線方程可得 a=1. 三、 課堂小結(jié) 1. 曲線上一點處的切線的求法 . 2. 運動物體的瞬時速度和瞬時加速度 ,學會用運動學的觀點理解和解決實際問題 . 3. 導數(shù)的定義及幾何意義 . 第 5 課時 瞬時變化率 ——導數(shù) (2) 教學過程 一、 問題情境 跳水 運動員從 10m 跳臺騰空到入水的過程中 ,不同時刻的速度是不同的 .假設 ts 后運動員相對于水面的高度為 H(t)=++10,試確定運動員在某個時刻 t0的瞬時速度 .如果將上述問題中的函數(shù) H(t)用 y=f(x)來表示 ,那么函數(shù) y=f(x)在 x=x0處的瞬時變化率又該如何表示呢 ? 二、 數(shù)學建構(gòu) 問題 1 高臺跳水運動中 ,運動員在某個時刻 t0 的瞬時速度如何表示 ? 解 如果當 Δt 無限趨近于 0 時 ,運動物體位移 h(t)的平均變化率 錯誤 !未找到引用源。(x0)的幾何意義是曲線 y=f(x)在點 P(x0,f(x0))處的切線的斜率 . 問題 4 通過概念中導數(shù)的形式能否概括出求 f(x)在 x=x0 處的導數(shù)的一般步驟 ? 解 ① 求 Δy。(x)也稱為 f(x)的導數(shù) . 問題 6 運動物體的位移 S(t)對于時間 t 的導數(shù)是什么 ? 運動物體的速度 v(t)對于時間t 的導數(shù)是什么 ? 解 瞬時速度是運動物體的位移 S(t)對于時間 t 的導數(shù) ,瞬時加速度是運動物體的速度v(t)對于時間 t 的導數(shù) . 問題 7 如何理解 f(x)在 x=x0 處 的導數(shù) f39。 =錯誤 !未找到引用源。 → 錯誤 !未找到引用源。(2).(見學生用書 P10) [處理建議 ] 學生學習一種新的記號需要一個理解適應的過程 ,因此 ,對于本題 ,給予學生時間思考 . [規(guī)范板書 ] 解 因為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 . 當 Δx→ 0 時 ,上式無限逼近于 f39。(1)=2 得 a=1. 2. 函數(shù) f(x)=2x2+3x 的導數(shù)為 f39。(1)。(x)=A(x). 活動 1 根據(jù)求導數(shù)的一般步驟 ,求下列函數(shù)的導數(shù) . ① y=kx+b(k,b 為常數(shù) ). 解 因為 錯誤 !未找到引用源 。(x)=1. ② f(x)=x2. 解 因為 錯誤 !未找到引用源。 = 3x2+3x(Δx)+(Δx)2, 當 Δx→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 錯誤 !未找到引用源。 , 當 Δx→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 ③ (x)39。 。 ⑩ (lo 錯誤 !未找到引用源。= 錯誤 !未找到引用源。 處切線的斜率 k=sin 錯誤 !未找到引用源。 ,故點 錯誤 !未找到引用源。 =1,又因為點 (x0,a錯誤 !未找到引用源。(x0)=2x0=1 得出 x0=錯誤 !未找到引用源。(x)=0。t 的單位為 s),則質(zhì)點在 t=3 s 時的速度為 錯誤 !未找到引用源。(3) y39。等于什么 ?[2] 解 函數(shù)和的求導法 則如下 :[f(x)+g(x)]39。 等于什么 ? 法則 1 兩個函數(shù)的和 (或差 )的導數(shù) ,等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和 (或差 ),即[f(x)177。(x). 法則 3 兩個函數(shù)的商的導數(shù) ,等于分子的導數(shù)與分母的積 ,減去分母的導數(shù)與分子的積 ,再除以分母的平方 ,即 錯誤 !未找到引用源。教師在學生的交流中 ,了解學生的思考過程 ,投影學生的解題過程 ,糾正出現(xiàn)的錯誤 ,同時強調(diào)書寫格式的規(guī)范 . [規(guī)范板書 ] 解 (1) f39。 (2) S(t)=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =4x(3x2)+(2x2+3)=ln x+1. 變式 4 求 y=錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。(x)=2f(x)f39。x=[(3x1)2]39。x=y39。x,即 u39。u39。 ,u=3x1 復合而成 , 則 y39。3=錯誤 !未找到引用源。(2)=2sin(12x). [題后反思 ] (1) 對于簡單復合函數(shù)的求導 ,要注意分析復合函數(shù)的結(jié)構(gòu) ,適當選取中間變量 。u39。=4(3x1)5 的導數(shù) y39。 cos 錯誤 !未找到引用源。 如果在某區(qū)間上 f39。(x)= f39。 。 ≥0在 [2,+∞)上恒成立 ,∴ 錯誤 !未找到引用源。 =4,解得 k=1. (2) 令 g(x)=2錯誤 !未找到引用源。 3在 (1,+∞)上遞增 , 又因為 g(1)=0,xk=1,所以 g(x)0, 故 2 錯誤 !未找到引用源。(2) 求出函數(shù)的導數(shù) 。(x0)=0 時 ,能否肯定函數(shù) f(x)在 x0 處取得極值 ?[4] 問題 4 函數(shù)的極值與函數(shù)的導數(shù)有怎樣的 關系 ?[5] 3. 函數(shù)極值與導數(shù)關系 : 如果 f39。(x)