高中數(shù)學(xué)1-2第3課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和同步導(dǎo)學(xué)案北師大版必修5-資料下載頁(yè)
2025-11-10 20:39本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】應(yīng)用時(shí)，特別要注意q=1和q≠1這兩種情況.不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q≠1進(jìn)行討論.除課本上用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)求和公式外，還可以用下面的方法推導(dǎo).∵當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+a3+…錯(cuò)位相減法，合比定理法，拆項(xiàng)法及an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用，在今后解題中要時(shí)常用到，錯(cuò)位相減法適用于{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求{an·bn}的前n項(xiàng)和.衡量等比數(shù)列的量共有五個(gè)：a1,q,n,an,，解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可見(jiàn)，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是由關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的，當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列S1,S2,S3,…［例1］設(shè)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.［分析］利用等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)求解.［說(shuō)明］等比數(shù)列連續(xù)等段的和若不為零時(shí)，則連續(xù)等段的和仍成等比數(shù)列.解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
【正文】 1+15=377. {an}中，已知對(duì)于任意 n∈ N+,有 a1+a2+… +an=2n1,則 a21+a22+… +a2n= . ［答案］ 31 4n31 ［解析］ ∵ a1+a2+… +an=2n1, ∴ a1+a2+… +an1=2n11(n≥ 2), 兩式相減， 得 an=2n12n1+1=2n2n1=2n1, ∴ a2n=(2n1) 2=22n2=4n1, ∴ a21+a22+… +a2n= 4141??n =31 4n31 . 三、解答題 {an}中，已知 a3=121， S3=421，求 a1與 q. S3=qqa ??1 )1( 31=421 ［解析］ （ 1）若 q≠ 1,則 ， a3=a1q2=121 從而解得 q=1或 q=21 . q=21 ∵ q≠ 1,∴ . a1=6 S3=3a1=421 q=1 （ 2）若 q=1,則 ，∴ . a3=a1=121 a1=121 q=21 q=1 綜上所述得 ，或 . a1=6 a1=121 14.(2020大綱文科， 17)設(shè)等比數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an和 Sn. ［分析］ 設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于 a1與 q的方程 .求得 a1與 q可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式 . ［解析］ 設(shè) {an}的公比為 q，由已知有： a1q=6 a1=3 a1=2 .解得 或 6a1+a1q2=30 q=2 q=3 (1)當(dāng) a1=3,q=2時(shí)， an=a1 qn1=3 2n1 Sn=qqa n??1 )1(1= 21 )21(3 ??? n =3 (2n1) (2)當(dāng) a1=2,q=3時(shí)， an=a1 qn1=2 3n1 Sn=qqa n??1 )1(1= 31 )31(2 ??? n =3n1. 綜上， an=3 2n1,Sn=3 (2n1)或 an=2 3n1,Sn=3n1. ｛ an｝是等比數(shù)列，其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6成等差數(shù)列 . (1)求數(shù)列｛ an｝的通 項(xiàng)公式； (2)數(shù)列｛ an｝的前 n項(xiàng)和記為 Sn,證明： Sn128(n=1,2,3,… ). ［解析］ (1)設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的公比為 q(q∈ R且 q≠ 1), 由 a7=a1q6=1,得 a1=q6,從而 a4=a1q3=q3, a5=a1q4=q2,a6=a1q5=q1, 因?yàn)?a4,a5+1,a6成等差數(shù)列 , 所以 a4+a6=2(a5+1) 即 q3+q1=2(q2+1), q1 (q2+1)=2(q2+1). 所以 q=21 . 故 an=a1qn1=q6 qn1=qn7=（ 21 ） n7. (2)證明： Sn=qqa n??1 )1(1=211 21164?? ］）（［ n =128［ 1（ 21 ） n］ 128. ， A、 B兩家公司分別開(kāi)出了工資標(biāo)準(zhǔn)： A公司 B公司 第一年月工資為 1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加 230元． 第一年月工資為２ 000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加 5％ . 大學(xué)生王明被 A、 B兩家公司同時(shí)錄取，而王明只想選擇一家連續(xù)工作 10年，經(jīng)過(guò)一番思考，他選擇了 A公司，你知道為什么嗎？ . ［解析］ A公司 B公司 第一年月工資為 1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加 230元． 第一年月工資為２ 000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加 5％ . 王明的選擇過(guò)程 第 n年月工資為 an 第 n年月工資為 bn 首項(xiàng)為 1500，公差為 230的等差數(shù)列 首項(xiàng)為 2020，公比為 1＋ 5％的等比數(shù)列 an=230n+1270 bn=2020(1+5%)n1 S10=12(a1+a2+… +a10) =12［ 101500+ 2 )110(10 ?? 230］ =304200 T10=12(b1+b2+… +b10) =12 )(2020 10?? ≈ 301869 結(jié)論 顯然 S10T10,故王明選擇了 A公司
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