高中數(shù)學(xué)2-2三角形中的幾何計(jì)算同步導(dǎo)學(xué)案北師大版必修5(編輯修改稿)
2024-12-25 19:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ［例 4］ △ ABC中， a、 b、 c分別是角 A、 B、 C的對(duì)邊， cosB= 21,7,53 ??? BCABa，求∠ C. ［誤解］ ∵ c os|||| BCABBCAB ? (π B) =accosB=53ac=21, ∴ ac=35. 又∵ a=7, ∴ c=5. 由余弦定理，得 b2=49+252179。 7179。 5179。53＝ 32， ∴ b=4 2 由正弦定理，得 Bbsin = Ccsin ,即 sinC= bBcsin . 又∵ cosB=53 ,B∈ (0,π ), ∴ sinB=54 . ∴ sinC= 2224 545?? ， ∴∠ C= 434 ??或 . 析］ 誤解中忽視了 ca這一條件，導(dǎo)致錯(cuò)誤 . ∵ c os|||| BCABBCAB ? (π B) =accosB=53 ac=21∴ ac=35. 又∵ a=7, ∴ c=5. 由余弦定理，得 b2=49+252179。 7179。 5179。 53 ＝ 32， ∴ b=4 2 . 由正弦定理，得 Bbsin = Ccsin ,即 sinC= bBcsin . 又∵ cosB=53 ,B∈ (0,π ), ∴ sinB=54 . ∴ sinC=2224 545?? ， 又∵ c=5,a=7, ∴ ca,∴∠ C∠ A, 故∠ C為銳角，∴∠ C=4?. 課堂鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 3cm、 5cm,其夾角的 余弦是方程 5x27x6=0的根，則此三角形的面積是 ( ) cm2 ［答案］ A ［解析］ 解方程 5x27x6=0,得 x1=53 或 x2=2. 由題意，得三角形的兩邊長為 3cm、 5cm,其夾角的余弦為 53 ， ∴夾角的正弦為 24 ， 故三角形的面積 S＝ 21 179。 3179。 5179。 21 ＝ 6cm2. △ ABC中，周長為 cm,且 sinA： sinB： sinC=4： 5： 6,下列結(jié)論： ① a： b： c=4： 5： 6 ② a： b： c=2： 5 ： 6 ③ a=2 cm,b= cm,c=3 cm ④ A： B： C=4： 5： 6 其中成立的個(gè)數(shù)是（ ） C 由正弦定理知 a： b： c=4： 5： 6,故①對(duì)，②錯(cuò)，④錯(cuò)；結(jié)合 a+b+c=，知a=2， b=,c=3， ∴③對(duì)，∴選 C. 3.△ ABC中，若∠ A=60176。， b=16，此三角形面積 S=220 3 ，則 a的值為 ( ) ［答案］ D ［解析］ 由題意，得 S=220 3 ＝ 21 bcsinA=21 179。 16179。 c179。 23 ， ∴ c=55. 由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA =162+5522179。 16179。 55179。21＝ 2401, ∴ a=49. 二、填空題 △ ABC中， a+b=12,A=60176。 ,B=45176。 ,則 a= . ［答案］ 3612 6 ［解析］ 由正弦定理???? 45sin1260sin aa， a=3612 6 . △ ABC 中，三個(gè)角 A、 B、 C的對(duì)邊邊長分別為 a=3,b=4,c=6,則 bccosA+accosB+abcosC的值為 ［答案］ 261 ［解析］ bccosA+cacosB+abcosC =bc178。 bc acb 2 222 ?? +ca178。 ca bac 2 222 ?? +ab178。 ab cba 2 222 ?? = .2612 6432 222222 ?????? cba 三、解答題 △ ABC中，角 A,B,C所對(duì)的邊分別為 a,b,c，且滿足 cos .3,5 522 ?? ACABA （ 1）求△ ABC的面積； (2)若 c=1，求 a的值 . ［解析］ (1)∵ cos ,5522 ?A ∴ cosA=2cos2 2A 1=53 , ∴ sinA=54 . 又由 ACAB =3,得 bccosA=3,∴ bc=5. ∴ S△ ABC=21 bcsinA=2. （ 2） 由 （ 1） 知 ， bc=5,又 c=1, ∴ b=5， 由余弦定理 ， 得 a2=b2+c22bccosA=25+12179。 5179。 1179。53=20, ∴ a=2 5 . 課后強(qiáng)化作業(yè) 一、選擇題 △ ABC周長為 20，面積為 10 3 ， A=60176。，則 BC邊長為（ ） ［答案］ C
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