高中數(shù)學(xué)2-1第2課時余弦定理同步導(dǎo)學(xué)案北師大版必修5-展示頁
2024-12-01 19:36本頁面
【正文】 (3)變形 : cosA= 。 第 2 課時 余弦定理 知能目標解讀 ，掌握余弦定理，理解用數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的過程，并體會向量在解決三角形的度量問題時的作用 . . ，并會用余弦定理解決“已知三邊求三角形的三角”及“已知兩邊及其夾角求三角形中其他的邊和角”等問題 . . 重點難點點撥 重點：余弦定理的證明及其應(yīng)用 . 難點：處理三角形問題恰當?shù)剡x擇正弦定理或余 弦定理 . 學(xué)習方法指導(dǎo) 一、余弦定理 ：在△ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的對邊分別為 a， b， c，那么有如下結(jié)論：a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c22accosB,c2=a2+b22abcosC. 即三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍 .這一結(jié)論叫做余弦定理，它揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律 .也是解三角形的重要工具 . 注意： （ 1）在余弦定理的每一個等式中含有四個量，利用方程的思想，可以知三求一 . （ 2）余弦定理也為求三角形的 有關(guān)量（如面積，外接圓，內(nèi)切圓等）提供了工具，它可以用來判定三角形的形狀，證明三角形中的有關(guān)等式，在一定程度上，它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛 . ：將余弦定理稍加變形，可以得到另外的形式，我們稱為余弦定理的推論 .掌握這些表達形式，可以幫助我們深入理解和靈活應(yīng)用余弦定理 . cosA= bc acb 2 222 ?? ， cosB= ac bca 2 222 ?? ， cosC= ab cba 2 222 ?? . 由上述變形，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可知道：如果 一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角為鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角為銳角 .從這一點說，余弦定理可以看作勾股定理的推廣，而勾股定理則是余弦定理的特例 . 二、余弦定理的證明 教材中給出了用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法，是平面向量知識在解三角形中的應(yīng)用 .另外，對余弦定理的證明，還可以應(yīng)用解析法、幾何法等方法證明 . 證明：方法 1：（解析法）如圖所示，以 A為原點，△ ABC的邊 AB所在直線為 x軸，建立直角坐標系 . 則 A（ 0,0） ,C(bcosA,bsinA),B(c,0), 由兩點間的距離公式得 BC2=（ bcosAc） 2+(bsinA0) 2, 即 a2=b2+c22bccosA. 同理可證 b2=a2+c22accosB, c2=a2+b22abcosC. 方法 2：（幾何法）如圖 .當△ ABC為銳角三角形時，過 C作 CD⊥ AB于 D，則 CD=bsinA, AD=bcosA,BD=ABAD=cbcosA. 在 Rt△ BCD中， BC2=CD2+BD2,即 a2=b2sin2A+(cbcosA) 2. 所以 a2=b2+c22bccosA. 同理可證 b2=a2+c22accosB,c2=a2+b22abcosC. 如圖，當△ ABC為鈍角三角形時，過 C作 CD垂直于 AB 的延長線，垂足為 D， 則 AD=bcosA,CD=bsinA. BD=ADAB=bcosAc. 在 Rt△ BCD中 ,BC2=CD2+BD2,即 a2=b2sin2A+（ bcosAc） 2. 所以 a2=b2+c22bccosA. 同理可證： b2=a2+c22accosB,c2=a2+b22abcosC. 三、余弦定理的應(yīng)用 余弦定理主要適用以下兩種題型 : （ 1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時只有一解； （ 2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理，必有一解 . 注意： 在應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長時，容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理中涉及的是邊長的平方，求得結(jié)果常有兩解，因此，解題時需要特別注意三角形三邊長度應(yīng)滿足的基本條件 . 知能自主梳理 （ 1）語言敘述： 三角形任何一邊的平方等于 減去 的積的 . （ 2）公式表達 : a2= 。 b2= 。 cosB= 。＜ A＜ 180176。 ∴ sinA=sin120176。 sinC= 1435 . ［說明］ （ 1）求 sinC也可用下面方法求解： cosC= ab cba 2 222 ?? = 372 537 222 ?? ?? =1411 ， ∴ C為銳角 . sinC= C2cos1? = 214111 ）（?＝ 1435 . (2)在解三角形時，有時既可用余弦定理，也可用正弦定理 . 變式應(yīng)用 1 在△ ABC中，已 知 (b+c)： (c+a)： (a+b)=4： 5： 6，求△ ABC的最大內(nèi)角 . ［解析］ 設(shè) b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k＞ 0). 則 a+b+c=,解得 a=,b=,c=. ∴ a是最大邊，即角 A是△ ABC的最大角 . 由余弦定理，得 cosA=bc acb 2 222 ??=21, ∵ 0176。 ,∴ A=120176。 . 命題方向 已知兩邊及一角解三角形 ［例 2］ △ ABC中，已知 b=3,c=3 3 ,∠ B=30176。 ,
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