20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線與方程ppt本章整合課件(編輯修改稿)
2024-12-22 23:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ,設(shè)雙曲線方程為x2a2?y2b2=1 ( a 0 , b 0 ) . 因?yàn)?e=ca=2 ,所以 c= 2 a. 由雙曲線的定義 ,得 | | P F1| | P F2|| = 2 a= c. 在 △ PF1F2中 ,由余弦定理 ,得 |F1F2|2= | P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1|| P F2| c o s 60 176。 = ( | P F1| | P F2| )2+ 2 | P F1|| P F2| ( 1 co s 60 176。 ), 即 4c2=c2+ | P F1|| P F2|. ① 又 S△ P F1F2=12 3 , 所以12| P F1|| P F2| s in 60 176。 = 1 2 3 , 即 | P F1|| P F2| = 4 8 .② 由 ①② ,得 c2= 1 6 , 所以 c= 4 ,則 a= 2 .所以 b2=c2 a2=12. 所以所求的雙曲線方程為x24?y212=1. 專題一 專題二 專題三 專題四 【應(yīng)用 4 】 設(shè) F1, F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1 的左、右焦點(diǎn) , A1, A2分別為這個(gè)雙曲線的左、右頂點(diǎn) , P 為雙曲線右支上的任一點(diǎn) , 求證 : 以 A1A2為直徑的圓既與以 PF2為直徑的圓外切 , 又與以 PF1為直徑的圓內(nèi)切 . 提示 :令 N , M 分別是 PF1, PF2的中點(diǎn) ,只要證明 | OM | = a+12| P F2| ,并且| ON | =12| P F1| a. 注意點(diǎn) P 在雙曲線的右支上 , F1, F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn) ,具備了運(yùn)用定義的條件特征 ,故應(yīng)從 雙曲線的定義入手去探索證明的途徑 . 專題一 專題二 專題三 專題四 證明 :如圖所示 ,易知以 A1A2為直徑的圓的圓心為 O ,半徑為 a ,令 M , N 分別是 PF2, PF1的中點(diǎn) ,由三角形中位線的性質(zhì) ,得 | O M | =12| P F1|. 又根據(jù)雙曲線的定義 ,得 | P F1| = 2 a+ | P F2| ,從而有| OM | =12( 2 a+ | P F2| ) = a+12| P F2|. 這表明 ,兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和 ,故以 A1A2為直徑的圓與以PF2為直徑的圓外切 . 同理 ,運(yùn)用雙曲線的定義 ,得 | O N | =12| P F2|=12( | P F1| 2a ) =12| P F1| a. 這表明兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差 ,故以 A1A2為直徑的圓與以PF1為直徑的圓內(nèi)切 . 專題一 專題二 專題三 專題四 專題三 與弦有關(guān)的問題 圓錐曲線中 , 與弦有關(guān)的題目最常見 , 問題主要有 :( 1 ) 已知直線 , 圓錐曲線方程 , 求弦長 。( 2 ) 已知弦長 , 求圓錐曲線方程或參數(shù) 。( 3 ) 由弦的性質(zhì)求參數(shù) 。( 4 ) 中點(diǎn)弦所在的直線方程等 . 解題方法一般為設(shè)直線方程 , 并與曲線方程聯(lián)立得方程組 , 化為一元二次方程后 , 從根與系數(shù)的關(guān)系 , 判別式等方面入手求解 . 專題一 專題二 專題三 專題四 1 . 求弦長 【應(yīng)用 1 】 AB 是過橢圓x 25+y 24=1 的一個(gè)焦點(diǎn) F 的弦 , 若 AB 的傾斜角為??3, 求弦 AB 的長 . 提示 :由直線 AB 過焦點(diǎn) F ,傾斜角為??3,可求出直線方程 ,再由弦長公式即可求出 . 專題一 專題二 專題三 專題四 解 :如圖所示 ,不妨取橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為 F ( 1 , 0 ), 則 AB 所在直線方程為y= 3 ( x 1 ), 代入橢圓方程并整理得 19x2 30x 5=0. 設(shè) A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 x1+ x2=3019,x1x2= 519. 所以 | AB | = 1 + kAB2|x1 x2| = 2 ( x1+ x2)2 4 x1x2 =2 3019 2 4 519 =32 519. 所以弦 AB 的長為32 519. 專題一 專題二 專題三 專題四 2 . 由弦長求曲線的方程 【應(yīng)用 2 】 橢圓 ax2+ b y2=1 與直線 x + y 1=0 相交于 A , B 兩點(diǎn) , C 是 AB的中點(diǎn) , 若 | AB | = 2 2 , OC 所在直線的斜率為 22, 求橢圓的方程 . 解 :聯(lián)立方程組 a x2+ b y2= 1 ,x + y 1 = 0 ,消去 y 得 ( a+ b ) x2 2 b x + b 1 = 0 . 因?yàn)橛深}意知 a+ b ≠ 0 ,所以由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得 x1+ x2=2ba + b,x1x2=b 1a + b. 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 C ( x0, y0), 則 x0=ba + b, y0=1 x0=1 ba + b=aa + b. 所以 AB 的中點(diǎn)為 C ba + b,aa + b , 專題一 專題二 專題三 專題四 從而得到 kOC=ab= 22.① 由 | AB | = 2 2 ,得 1 + kAB2|x1 x2| = 2 2 , 所以 ( 1+ kAB2)( x1 x2)2 = ( 1+ kAB2) [ ( x1+x2)2 4x1x2] =8. 又由 kA B= 1 ,所以 2 2ba + b 2 4 b 1a + b =8 ,即 a2+b2+ 3 ab a b = 0 .② 由 ①② 聯(lián)立解得 a =13,b = 23. 所以橢圓方程為13x2+ 23y2
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