20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程ppt章末歸納總結課件(編輯修改稿)
2024-12-22 23:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 AB 中點為 ( x0， y0) ， x0＝12， y0＝－12， ∴ 3 ＝－a2b2 2 122 ? －12?＝a2b2 ，即 a2＝ 3 b2. 又 a2－ b2＝ (5 2 )2＝ 5 0 ， ∴ a2＝ 75 ， b2＝ 2 5 . ∴ 橢圓方程為y275＋x225＝ 1. [ 方法規(guī)律總結 ] 關于中點弦問題，一般采用兩種方法解決： ( 1 ) 聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關系進行設而不求，從而簡化運算 . ( 2 ) 利用 “ 點差法 ” 求解，即若橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ，直線與橢圓交于點 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，且弦 AB 的中點為 M ( x0，y0) ，則????? x21a2 ＋y21b2 ＝ 1 ， ①x22a2 ＋y22b2 ＝ 1. ② 由 ① － ② 得 a2( y21 － y22 ) ＋ b2( x21 － x22 ) ＝ 0 ， ∴y 1 － y 2x 1 － x 2＝－b2a2 x 1 ＋ x 2y 1 ＋ y 2＝－b2a2 x 0y 0. 這樣就建立了中點坐標與直線的斜率之間的關系，從而使問題能得以解決 . 軌跡問題 已知橢圓方程為 x2＋y24＝ 1 ，過點 M ( 0 ,1 ) 的直線交橢圓于點 A 、 B ， O 是坐標原點，點 P 滿足 OP→＝12( OA→＋ OB→) ，當直線 l 繞點 M 旋轉時，求動點 P 的軌跡 方程 ． [ 解析 ] 設 P ( x ， y ) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ． ∵ OP→＝12( OA→＋ OB→) ， ∴ x ＝x 1 ＋ x 22， y ＝y(tǒng) 1 ＋ y 22. ∵ 點 A 、 B 在橢圓上， ∴ x21＋y214＝ 1 ① ， x22＋y224＝ 1 ② ， ① － ② 得 ( x1＋ x2)( x1－ x2) ＋14( y1＋ y2)( y1－ y2) ＝ 0 ③ ， 當 x1≠ x2時，y1－ y2x1－ x2＝y(tǒng) － 1x，又 x1＋ x2＝ 2 x ， y1＋ y2＝ 2 y ， 代入 ③ 式，得 4 x2＋ y2－ y ＝ 0. 當 x1＝ x2時，點 P 與坐標原點 O 重合，滿足題意 ． 故動點 P 的軌跡方程為 4 x2＋ y2－ y ＝ 0. [ 方法規(guī)律總結 ] 求軌跡方程常用的方法有直譯法、定義法、代入法、參數(shù)法、交軌跡等 . 定點 、 定值 、 最值問題 ( 2 0 1 4 河北衡水中學模擬 ) 已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝1( a b 0 ) 過點 ( 2 , 0 ) ，且橢圓 C 的離心率為12. ( 1 ) 求橢圓 C 的方程； ( 2 ) 若動點 P 在直線 x ＝－ 1 上，過 P 作直線交橢圓 C 于 M ，N 兩點，且 P 為線段 MN 中點，再過 P 作直線 l⊥ MN . 試問直線l 是否恒過定點，若是則求出該定點的坐標，若不是請說明理由 ． [ 解析 ] ( 1 ) 因為點 ( 2 , 0 ) 在橢圓 C 上，所以4a2 ＋0b2 ＝ 1 ， 所以 a2＝ 4 ， 因為橢圓 C 的離心率為12，所以ca＝12， 即a2－ b2a2 ＝14， 解得 b2＝ 3 , 所以橢圓 C 的方程為x24＋y23＝ 1. ( 2 ) 設 P ( － 1 ， y0) ， y0∈ ( －32，32) ， ① 當直線 MN 的斜率存在時，設直線 MN 的方程為 y － y0＝ k ( x ＋ 1) ， M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) ， 由????? 3 x2＋ 4 y2＝ 12 ，y － y0＝ k ? x ＋ 1 ? ，得 (3 ＋ 4 k2) x2＋ (8 ky0＋ 8 k2) x ＋ (4 y20＋8 ky0＋ 4 k2－ 1 2 ) ＝ 0 ， 所以 x1＋ x2＝－8 ky0＋ 8 k23 ＋ 4 k2， 因為 P 為 MN 中點，所以x1＋ x22＝－ 1 ， 即－8 ky0＋ 8 k23 ＋ 4 k2＝－ 2. 所以 k ＝34 y0( y0≠ 0) ， 因為直線 l⊥ MN ，所以 kl＝－4 y03， 所以直線 l 的方程為 y － y0＝－4 y03( x ＋ 1) ， 即 y ＝－4 y03( x ＋14) ， 顯然直線 l 恒過定點 ( －14， 0) ． ② 當直線 MN 的斜率不存在時，直線 MN 的方程為 x ＝－ 1 ， 此時直線 l 為 x 軸，也過點 ( －14， 0) ． 綜上所述直線 l 恒過定點 ( －14， 0) ． [ 方法規(guī)律總結 ] 求解曲線過定點問題，一般可建立含參數(shù)的曲線的方程，然后說明
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