高中數學蘇教版選修2-1第2章圓錐曲線與方程5(編輯修改稿)
2024-12-23 23:19 本頁面
【文章內容簡介】 b ＝ 4 ， c ＝ 5 ， e ＝53 ， ∴ MN ＝35 MF ， ∴ MA ＋35 MF ＝ MA ＋ MN ， 顯然當 M、 N、 A三點共線時 MA＋ MN＝ AN為最小 ， 即 MA ＋ 35 MF 取得最小值， 此時 AN ＝ 9 －a 2c ＝ 9 －95 ＝365 ， ∴ MA ＋35 MF 的最小值為365 ，此時點 M (3 52 ， 2) . 要點三 圓錐曲線統一定義的綜合應用 例 3 已知 A 、 B 是橢圓x2a2 ＋y2925a2＝ 1 上的點， F 2 是右焦點，且 AF 2 ＋ BF 2 ＝85a ， AB 的中點 N 到左準線的距離等于32，求此橢圓方程 . 解 設 F1為左焦點 ， 則根據橢圓定義有： AF1＋ BF1＝ 2a－ AF2＋ 2a－ BF2 ＝ 4 a － ( AF 2 ＋ BF 2 ) ＝ 4 a － 85 a ＝125 a . 再設 A、 B、 N三點到左準線距離分別為 d1， d2， d3， 由梯形中位線定理有 d 1 ＋ d 2 ＝ 2 d 3 ＝ 3 ，而已知 b 2 ＝ 925 a2 ， ∴ c 2 ＝1625 a2 ， ∴ 離心率 e ＝ 45 ， 由統一定義 AF1＝ ed1， BF1＝ ed2， ∴ AF 1 ＋ BF 1 ＝125 a ＝ e ( d 1 ＋ d 2 ) ＝125 ， ∴ a ＝ 1 ， ∴ 橢圓方程為 x 2 ＋y 2925＝ 1. 規(guī)律方法 在圓錐曲線有關問題中 ， 充分利用圓錐曲線的共同特征 ， 將曲線上的點到準線的距離與到焦點的距離相互轉化是一種常用方法 . 跟蹤演練 3 設 P ( x 0 ， y 0 ) 是橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 上任意一點， F 1 為其左焦點 . (1)求 PF1的最小值和最大值； 解 對應于 F 1 的準線方程為 x ＝－ a2c ， 根據統一定義：PF 1x 0 ＋a 2c＝ e ， ∴ PF1＝ a＋ － a≤ x0≤ a， ∴ 當 x0 ＝－ a 時， ( PF 1 ) m i n
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