抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性與周期性總結(jié)與習(xí)題(編輯修改稿)
2025-04-22 00:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在區(qū)間[－1000，1000]上f(x)=0至少有幾個(gè)根？ 解：依題意f(x)關(guān)于x=2，x=7對(duì)稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個(gè)周期是10 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在區(qū)間(0，10]上，方程f(x)=0至少兩個(gè)根 又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根， 因此方程f(x)=0在區(qū)間[－1000，1000]上至少有1+=401個(gè)根.例 函數(shù)y＝f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（D ）A．關(guān)于直線x＝5對(duì)稱 B．關(guān)于直線x＝1對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)（5，0）對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性知函數(shù)y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)之間關(guān)于點(diǎn)（（6－4）/2，0）即（1，0）中心對(duì)稱，故選D。（原卷錯(cuò)選為C）例 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，證明f(x)是周期函數(shù)。（2001年理工類第22題）例 設(shè)f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)f(x)＝x，則f()等于（）（1996年理工類第15題）例 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（C ）A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)六、鞏固練習(xí)函數(shù)y＝f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝ f(6－x)的圖象（ ）。 A．關(guān)于直線x＝5對(duì)稱 B．關(guān)于直線x＝1對(duì)稱 C．關(guān)于點(diǎn)（5，0）對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱設(shè)f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)， f(x)＝x，則f()=（ ）?！ ． B．－ C． D．－設(shè)f(x)是定義在（－∞，＋∞）上的函數(shù)，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)， f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（ ）?！ ．偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，證明f(x)是周期函數(shù)。參考答案：D，B，C，T＝2。在數(shù)列求=1．一、選擇題（每題5分，共40分）1．定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，則的值為 A. B. C. D. 2．偶函數(shù)y＝f(x)滿足條件f(x＋1)＝f(x－1)，且當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝3x＋，則f()的值等于( )A．－1 B. C. D．13．函數(shù)（ ） 4．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A． B． C． D． 5．函數(shù)f（x）=的最大值是（ ）A. B. C. D. 6． 已知是定義在上且以3為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A．3 B．5 C．7 D．98．.若函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D.9．已知a為參數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則a可取值的集合是 （ ）A．{0,5} B．{2,5} C．{5,2} D．{1,2009}10．已知是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的大小關(guān)系是( ) A． B． C． D．二、填空題
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