函數(shù)的周期性及對(duì)稱性(編輯修改稿)
2025-06-12 02:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( )（A） （B） （C） （D） （山東）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為（ ）A．－1 B．0 C．1 D．23．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，求4．函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則___5．已知是定義在上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。（1）求的值；（2）證明是周期函數(shù)；（3）若，求時(shí)，函數(shù)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象。(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式．解：(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．鞏固練習(xí)：1．函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)0在[－1,3]上的解集為( )A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)解析：選C f(x)的圖像如圖．當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，由xf(x)0得x∈(－1,0)；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，由xf(x)0得x∈?；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，由xf(x)0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．2．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝1－x，則：①2是函數(shù)f(x)的周期；②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；④當(dāng)x∈(3,4)時(shí)，f(x)＝x－3.其中所有正確命題的序號(hào)是________．解析：由已知條件：f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，①正確；當(dāng)－1≤x≤0時(shí)0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示：當(dāng)3x4時(shí)，－1x－40，f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正確，③不正確．答案：①②④3．設(shè)定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)，滿足對(duì)任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈時(shí)，f(x)＝－x2，則f(3)＋f的值等于( )A．－ B．－C．－ D．－解析：選C 由f(t)＝f(1－t)得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)，所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，所以f(x)的周期為2.又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，所以f(3)＋f＝f(1)＋f＝0－2＝－.4．若偶函數(shù)y＝f(x)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，則f(－6)等于________．解析：∵y＝f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1