函數的奇偶性與周期性(編輯修改稿)
2025-06-12 01:56 本頁面
【文章內容簡介】 )＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.(2)因為f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函數，又因為f(x)是R上的奇函數，所以函數f(x)是R上的增函數，要使f(3－a2)f(2a)，只需3－a22a，解得－3a1.答案：(1)0 (2)(－3,1)三、函數的周期性及其應用[例3]設函數f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數，當x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f＝________.[自主解答] 依題意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，則f＝f＝f＝＋1＝.[答案] 由題悟法1．周期性常用的結論：對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a.2．周期性與奇偶性相結合的綜合問題中，周期性起到轉換自變量值的作用，奇偶性起到調節(jié)符號作用．以題試法3．設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式．解：(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．課堂練習1．下列函數中，既是奇函數又是減函數的是( )A．y＝－x3 B．y＝sin xC．y＝x D．y＝x答案：A2．設f(x)是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f＝( )A．－ B．－C. D.解析：選A 由題意得f＝－f＝－f＝－f＝－＝－.3．已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是( )A．f(x)是偶函數，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數，遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數，遞增區(qū)間是(－∞，0)解析：選C 將函數f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得f(x)＝畫出函數f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數f(x)的圖象關于原點對稱，故函數f(x)為奇函數，且在(－1,1)上單調遞減．4．已知函數f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a≠0)，h(x)＝則f(x)，h(x)的奇偶性依次為( )A．偶函數，奇函數 B．奇函數，偶函數C．偶函數，偶函數 D．奇函數，奇函數解析：選D f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－f(x)，故f(x)為奇函數．畫出h(x)的圖象可觀察到它關于原點對稱或當x0時，－x0，則h(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－h(huán)(x)，當x0時－x0，則h(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－h(huán)(x)．x＝0時，h(0)＝0，故h(x)為奇函數．5．已知函數f(x)為定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋m(m為常數)，則f(－1)的值為( )A．－3 B．－1 C．1 D．3解析：選A 函數f(x)為定義在R上的奇函數，則f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.則f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝21＋21－1＝3，f(－1)＝－f(1)＝－3.6．若函數f(x)＝為奇函數，則a＝( )A. B. C.
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