抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性典例分析(編輯修改稿)
2025-08-23 14:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)性質(zhì)2 若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當(dāng)a＝0時(shí)的特例。復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義 若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義 若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說(shuō)明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）兩個(gè)特例：y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對(duì)稱（或關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱）復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關(guān)于直線x＝（b－a）/2軸對(duì)稱性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關(guān)于點(diǎn)（（b－a）/2，0）中心對(duì)稱推論 復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于y軸軸對(duì)稱推論 復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)函數(shù)的對(duì)稱性與周期性性質(zhì)5 若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于直線x＝a與x＝b軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)若函數(shù)y＝f(x)既關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱，又關(guān)于直線x＝b軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝4|a－b| 函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用 （1）若,即 （2）例題 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱：。 若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。設(shè).（四）常用函數(shù)的對(duì)稱性三、函數(shù)周期性的幾個(gè)重要結(jié)論( ) 的周期為，()也是函數(shù)的周期 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為若1有兩條對(duì)稱軸和 周期推論：偶函數(shù)滿足 周期1有兩個(gè)對(duì)稱中心和 周期推論：奇函數(shù)滿足 周期1有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心的四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題。答案例1.（1996年高考題）設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則等于（）（A）。 （B）。 （C）。 （D）.
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