抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性典例分析(編輯修改稿)
2024-08-23 14:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)性質(zhì)2 若函數(shù)y＝f(x)關于點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當a＝0時的特例。復合函數(shù)的奇偶性定義 若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義 若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說明：（1）復數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）兩個特例：y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a軸對稱（或關于點（a，0）中心對稱）復合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關于直線x＝（b－a）/2軸對稱性質(zhì)復合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關于點（（b－a）/2，0）中心對稱推論 復合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關于y軸軸對稱推論 復合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關于原點中心對稱函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)5 若函數(shù)y＝f(x)同時關于直線x＝a與x＝b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)若函數(shù)y＝f(x)同時關于點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)若函數(shù)y＝f(x)既關于點（a，0）中心對稱，又關于直線x＝b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝4|a－b| 函數(shù)對稱性的應用 （1）若,即 （2）例題 奇函數(shù)的圖像關于原點（0，0）對稱：。 若的圖像關于直線對稱。設.（四）常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)周期性的幾個重要結論( ) 的周期為，()也是函數(shù)的周期 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為 的周期為若1有兩條對稱軸和 周期推論：偶函數(shù)滿足 周期1有兩個對稱中心和 周期推論：奇函數(shù)滿足 周期1有一條對稱軸和一個對稱中心的四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學問題。答案例1.（1996年高考題）設是上的奇函數(shù)，當時，則等于（）（A）。 （B）。 （C）。 （D）.
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