函數(shù)單調(diào)性和奇偶性專題(編輯修改稿)
2025-04-20 12:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)的單調(diào)區(qū)間_______；【分析】對(duì)函數(shù)，是由向右平移1個(gè)單位得到，由反比例函數(shù)性質(zhì)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，特別注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間不能寫成，可舉反例說(shuō)明；【解】上單調(diào)遞增；變式：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為 （2）設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是________．【解析】由題意知g(x)＝函數(shù)圖象如圖所示，其遞減區(qū)間是[0,1)．例2：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的范圍_______；【分析】關(guān)于二次函數(shù)的單調(diào)性，注意看兩個(gè)方面，即開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，（1）中給定了函數(shù)在上單調(diào)遞減，而圖象開(kāi)口向上，因此對(duì)稱軸應(yīng)在的右邊，從而；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的范圍_________?！痉治觥亢瘮?shù)，由圖象可知函數(shù)在的范圍內(nèi)，當(dāng)遞減，當(dāng)遞增，由題意在上單調(diào)遞增得。變式：（1）已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1,2]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______________．【解析】 函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝a，畫出草圖如圖所示．由圖象可知，函數(shù)在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上具有單調(diào)性，只需a≤1或a≥2，從而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．（2）函數(shù)y=loga（2－ax）在［0，1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________.【解析】題中隱含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是減函數(shù).∴y=logau應(yīng)為增函數(shù)，且u=2－ax在［0，1］上應(yīng)恒大于零.∴∴1＜a＜2.例3．設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝3x－1，則, 之間的大小關(guān)系是_______.【解析】由題設(shè)知，當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，而x＝1為對(duì)稱軸，∴例4．定義新運(yùn)算⊕：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b＝a；當(dāng)ab時(shí)，a⊕b＝b2，則函數(shù)f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于______.【解析】 f(x)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，所以最大值6。例5：用定義證明在上是減函數(shù)?！咀C明】 設(shè),，且，則由于，則，即，所以在上是減函數(shù)。變式：用定義證明函數(shù) 在上的單調(diào)性?！咀C明】設(shè)、且，則，又，所以，當(dāng)、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。綜上函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。注 由于與0的大小關(guān)系不是明確的，因此要分段討論。討論的方法是令，則，解得。例6：已知函數(shù)，常數(shù)）．若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的
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