函數(shù)的奇偶性與周期性(參考版)
2025-05-19 01:56本頁(yè)面
【正文】 學(xué)習(xí)參考。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無(wú)力。4. 歲月是無(wú)情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。用一些事情，總會(huì)看清一些人。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。f(x)0，得或而f(－3)＝0，f(3)＝0，即或所以x1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，這時(shí)f(x)＝x2＋.任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝(x1＋x2)(x1－x2)＋＝(x1－x2).由于x1≥2，x2≥2，且x1x2.故x1－x20，x1＋x2，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．11．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)設(shè)x0，則－x0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]．12．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)＝(0x≤1)，求x∈[－5，－4]時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式．解：(1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，得f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)＝0.x∈[－1,0)時(shí)，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－，又f(0)＝0，故x∈[－1,0]時(shí)， f(x)＝－.x∈[－5，－4]，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－.從而，x∈[－5，－4]時(shí)，函數(shù)f(x)＝－.課后練習(xí)1．設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)＝0，則xf(－x)．∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)∵f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．(3)∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域?yàn)閇－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(4)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x0時(shí)，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0，也滿足f(－x)＝－f(x)．故該函數(shù)為奇函數(shù)．二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用[例2] (1)已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.(2)設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式0的解集為( )A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)[自主解答] (1)∵y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且x＝1時(shí)，y＝2，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2
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