函數的奇偶性與周期性(參考版)
2024-08-05 05:18本頁面
【正文】 x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．(3)依題設有f(44)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函數，∴f(x－1)＜2?f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函數．∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范圍是{x|－15＜x＜17且x≠1}．。高考四川卷)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x∈[－1,1)時，f(x)＝則＝________.解析：由已知易得＝，又由函數的周期為2，可得＝＝1.答案：1課時規(guī)范訓練A組 基礎演練1．下列函數中為偶函數的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析：＝x2是偶函數，y＝sin x是奇函數，y＝cos x是偶函數，所以A選項為奇函數，B選項為偶函數；C選項中函數圖象是把對數函數y＝ln x的圖象在x軸下方部分翻折到x軸上方，其余部分的圖象保持不變，故為非奇非偶函數；D選項為指數函數y＝，是非奇非偶函數．2．下列函數中既不是奇函數也不是偶函數的是( )A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋) C． D．y＝lg解析：(－1，＋∞)，不關于原點對稱，故y＝lg不是奇函數也不是偶函數，選項A為偶函數，選項B為奇函數，選項C為偶函數．3．若f(x)是R上周期為5的奇函數，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)等于( )A．－1 B．1 C．－2 D．2解析：(x)是R上周期為5的奇函數知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1，故選A.4．已知函數f(x)為奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝( )A．－2 B．0 C．1 D．2解析：＞0時，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.∵f(x)為奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.5．設f(x)是定義在R上的周期為3的函數，當x∈[－2,1)時，f(x)＝，則＝( )A．0 B．1 C. D．－1解析：(x)是周期為3的周期函數，所以＝＝4－2＝－1，故選D.6．函數f(x)對于任意實數x滿足條件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝________.解析：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.答案：－7．已知f(x)是定義在R上的偶函數，f(2)＝1，且對任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，則f(2 017)＝________.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函數f(x)的周期T＝3，則f(2 017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(2 017)＝f(2)＝1.答案：18．函數f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示為奇函數h(x)與偶函數g(x)的和，則g(0)＝________.解析：由題意可知h(x)＋g(x)＝ex＋x ①，用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－x，因為h(x)為奇函數，g(x)為偶函數，所以－h(huán)(x)＋g(x)＝?、?由(①＋②)247。高考四川卷)已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則＋f(1)＝________.解析：綜合運用函數的奇偶性和周期性進行變換求值．∵f(x)為奇函數，周期為2，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.∵f(x)＝4x，x∈(0,1)，∴＝
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