函數(shù)的奇偶性與周期性復(fù)習(xí)——老師用(參考版)
2025-04-19 23:39本頁面
【正文】 g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，故C項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，選C.答案：C：∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵當(dāng)0≤xπ時(shí)，f(x)＝0，∴f＝0，即f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝.故選A.答案：A：選項(xiàng)A中的函數(shù)是偶函數(shù)；選項(xiàng)B中的函數(shù)是奇函數(shù)；選項(xiàng)C為偶函數(shù)，只有選項(xiàng)D中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．答案：D：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函數(shù)得m＝0，則f(x)＝2|x|－1，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x) ＝2x－1遞增，又a＝f()＝f(||)＝f(log23)，c＝f(0)，且0log23log25，則f(0)f(log23)f(log25)，即cab.答案：C：由題意可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，選A.答案：A。偶”是奇． 考點(diǎn)二 函數(shù)的周期性 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)． [解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.從而求得x∈[2,4]時(shí)，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.判斷函數(shù)周期性的兩個(gè)方法(1)定義法．(2)圖象法． 例：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則求f(－2 015)＋f(2 017)的值為________．解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一個(gè)周期．∴f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 015)＝f(2 015)＝f(3)＝－＝－1，∴f(－2 015)＋f
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