函數(shù)的奇偶性與周期性復(fù)習(xí)——老師用-免費(fèi)閱讀
【正文】 偶”是奇，“奇247。函數(shù)的奇偶性與周期性一、函數(shù)奇偶性定義奇偶性定 義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱二、需要注意的問(wèn)題1．判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件．2．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能說(shuō)存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函數(shù)奇偶性判定時(shí)，利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性是錯(cuò)誤的．三、重要結(jié)論 1．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論：(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論：(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對(duì)稱．若函數(shù)y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱．(2)若f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于x＝a對(duì)稱．若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．奇偶性例題1．函數(shù)f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( )A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)解析：由知x1，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)．答案：C2．設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x，則f(－)＝( )A．－ B.C．2 D．－2解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－)＝f()＝log2＝，故選B.答案：B3．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：∵f(－x)＝f(x)對(duì)于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|對(duì)于x∈R恒成立，兩邊平方整理得ax＝0對(duì)于x∈R恒成立，故a＝0.答案：0四、函數(shù)的周期性1．周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．2．最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期．五、周期性重要結(jié)論定義式f(x＋T)＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|.若在定義域內(nèi)滿足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a0)．則f(x)為周期函數(shù)，且T＝2a為它的一個(gè)周期．對(duì)稱性與周期的關(guān)系：(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和直線x＝b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個(gè)周期．(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個(gè)周期．(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x＝b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個(gè)周期．周期性例題4．函數(shù)f(x
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