函數(shù)的奇偶性與周期性復(fù)習(xí)——老師用-wenkub
2023-05-01 23:39:51 本頁面
【正文】 －4)＝x2－6x＋8.從而求得x∈[2,4]時(shí)，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.判斷函數(shù)周期性的兩個(gè)方法(1)定義法．(2)圖象法． 例：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則求f(－2 015)＋f(2 017)的值為________．解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一個(gè)周期．∴f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 015)＝f(2 015)＝f(3)＝－＝－1，∴f(－2 015)＋f(2 017)＝0.答案：0考點(diǎn)三 函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用常見的命題：1．已知奇偶性求參數(shù)．2．利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式．3．周期性與奇偶性綜合．4．單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合．探究一 已知奇偶性求參數(shù)1． 若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.解析：由題意得f(x)＝xln(x＋)＝f(－x)＝－xln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.答案：1探究二 利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)f(2x－1)成立的x的取值范圍是( )A. B.∪(1，＋∞)C. D.∪解析：函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，又當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是單調(diào)遞增的，故f(x)f(2x－1)?f(|x|)f(|2x－1|)，∴|x||2x－1|，解得x1，故選A.答案：A探究三 周期性與奇偶性相結(jié)合3．已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)1，f(5)＝，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)解析：∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)1，f(5)＝，∴1，即0，解得－1a4，故選A.答案：A探究四 單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合4．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )A．f(－25)f(11)f(80) B．f(80)f(11)f(－25)C．f(11)f(80)f(－25) D．f(－25)f(80)f(11)解析：∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增
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