函數(shù)的奇偶性與周期性復(fù)習(xí)——老師用-文庫(kù)吧
2025-04-01 23:39 本頁(yè)面
【正文】 ＋2)＝，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝________.解：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.答案：－考點(diǎn)一 函數(shù)奇偶性的判斷判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1) f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x； (4)f(x)＝；(5)f(x)＝解：(1)由得x＝177。1，∴f(x)的定義域?yàn)閧－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝177。f(－x)．∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)∵函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)椋魂P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(3)∵f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域?yàn)閇－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(5)易知函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x0時(shí)，－x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x0時(shí)，－x0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．函數(shù)奇偶性的判定的三種常用方法1．定義法：2．圖象法：3．性質(zhì)法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇247。奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶247。偶”是偶；(3)“奇偶”是奇，“奇247。偶”是奇． 考點(diǎn)二 函數(shù)的周期性 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)． [解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.從而求得x∈[2,4]時(shí)，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.判斷函數(shù)周期性的兩個(gè)方法(1)定義法．(2)圖象法． 例：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則求f(－2 015)＋f(2 017
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