函數(shù)的奇偶性與周期性-在線瀏覽
2024-09-04 05:18本頁(yè)面
【正文】 x＝a對(duì)稱．(√)(9)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．(√)(10)若某函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則該函數(shù)為偶函數(shù)；若某函數(shù)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)．(√)考點(diǎn)一 判斷函數(shù)的奇偶性命題點(diǎn)用函數(shù)奇偶性定義判斷[例1] (1)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( )A．y＝ B．y＝ex C．y＝cos x D．解析：對(duì)于A，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不符合要求；對(duì)于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；對(duì)于C，滿足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；對(duì)于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選D.答案：D(2)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( )A．y＝ B．y＝lg|x| C．y＝(x－1)2 D．y＝2x解析：根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義，可得A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C，D為非奇非偶函數(shù)．答案：B(3)函數(shù)f(x)＝＋，則( )A．不具有奇偶性 B．只是奇函數(shù)C．只是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：由得x＝－或x＝.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}．∵對(duì)任意的x∈{－，}，－x∈{－，}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．答案：D[方法引航] 判斷函數(shù)的奇偶性的三種重要方法(1)定義法：(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱．(3)性質(zhì)法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇247。偶”是偶，“偶247。偶”是奇，“奇247。山東泰安模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱；③f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；④f(2)＝f(0)，其中正確命題的序號(hào)是________(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫(xiě)出來(lái))．[分析關(guān)系] ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)隱含了用什么結(jié)論？什么方法探究？②f(x＋2)＝－f(x)，隱含了什么結(jié)論？用什么方法探究．③若f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，其解析式具備什么等式關(guān)系？從何處理探究？④f(x)在[－1,0]上的圖象與[1,2]上的圖象有什么關(guān)系？依據(jù)什么指導(dǎo)？⑤f(2)，f(0)從何處計(jì)算．[解析] 第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對(duì)任意x，y∈R恒成立．(賦值法)：令x＝y(tǒng)＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在[0,1]上為增函數(shù)．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)?f(x＋4)＝f(x)，(代換法)∴周期T＝4，即f(x)為周期函數(shù)．第四步：f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)．(代換法)又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(2－x)＝f(x)，∴關(guān)于x＝1對(duì)稱．第五步：由f(x)在[0,1]上為增函數(shù)，又關(guān)于x＝1對(duì)稱，∴[1,2]上為減函數(shù)．(對(duì)稱法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(賦值法)[答案]?、佗冖邰躘回顧反思] 此題用圖象法更直觀．[高考真題體驗(yàn)]1．(2014g(－x)＝－f(x)高考山東卷)已知函數(shù)f(x)＜0時(shí)，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x＞時(shí)，.則f(6)＝( )A．－2 B．－1C．0 D．2解析：，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞時(shí)，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(51＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝.3．(2016高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)
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