函數(shù)對(duì)稱性、周期性和奇偶性的規(guī)律總結(jié)大全-在線瀏覽
2025-08-03 03:50本頁(yè)面
【正文】 一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，且，則等于（C）A. B. C. D.分析：答案為C. 本題是考察函數(shù)奇偶性的判定，并不難，根據(jù)奇偶性的定義，即可得出答案為C 高考資源網(wǎng) 11：已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí)f(x)0,且對(duì)任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減. 證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)為奇函數(shù). (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令0x1x21,則f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f()∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0，∴x2－x11－x2x1,∴01,由題意知f()0，即 f(x2)f(x1). ∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).12. 已知函數(shù)y＝f (x)是定義在上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)是奇函數(shù)又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值. ①證明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.解：∵f (x)是以為周期的周期函數(shù)，∴，又∵是奇函數(shù)，∴，∴②當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，由得，∴，∴③∵是奇函數(shù)，∴，又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數(shù)，∴可設(shè)，而，∴，∴當(dāng)時(shí)，f (x)=3x，從而當(dāng)時(shí)，故時(shí)，f (x)= 3x，.∴當(dāng)時(shí)，有，∴0. 當(dāng)時(shí)，∴∴13．設(shè)ｆ（ｘ）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線ｘ＝１對(duì)稱對(duì)任意ｘ１，ｘ２∈［０］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）ｆ（x２）,所以ｆ（１）＝ａ＞0， ∴ (Ⅱ)證明：依題設(shè)ｙ＝ｆ（ｘ）關(guān)于直線ｘ＝１對(duì)稱，故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函數(shù)知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，將上式中－ｘ以ｘ代換，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ這表明ｆ（ｘ）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期. （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］∵ ∴ ∵ｆ（ｘ）的一個(gè)周期是2∴ｆ（２ｎ＋）=ｆ（）,因此an=函數(shù)對(duì)稱性與周期性幾個(gè)重要結(jié)論賞析對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)，下面總結(jié)這兩個(gè)性質(zhì)的幾個(gè)重要結(jié)論及運(yùn)用它們解決抽象型函數(shù)的有關(guān)習(xí)題。函數(shù)滿足（T為常數(shù)）的充要
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