函數(shù)的值域與最值(編輯修改稿)
2025-06-12 02:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∴y185。1綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?{ y| y185。1且 y185。}方法二：（分離常數(shù)法）把已知函數(shù)化為函數(shù) (x185。2) 由此可得 y185。1 ∵ x=2時(shí) 即 ∴函數(shù)的值域?yàn)?{ y| y185。1且 y185。}例4?。ǚ侄魏瘮?shù)法及圖像法）求函數(shù)y=|x+1|+|x2|的值域 解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象，由圖象可知，函數(shù)的值域是{y|y3}解法2：（幾何法或圖象法）∵函數(shù)y=|x+1|+|x2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)1，2的距離之和，∴易見(jiàn)y的最小值是3，∴函數(shù)的值域是[3，+) 如圖 分段函數(shù)的值域的求法是：求出每一段上的值域再求他們的并集。例已知函數(shù),求的值域。分析：（同學(xué)們?nèi)菀卓紤]到，設(shè)t=，則，需要再進(jìn)行三角換元）解：，因此設(shè)（注意換元法不能改變變量的取值范圍），則，∵，∴，所求函數(shù)的值域?yàn)槔?求函數(shù)的值域；方法1：函數(shù)在定義域[1，1]內(nèi)單調(diào)遞增，值域?yàn)榉椒?：三角換元，∵，∴可設(shè)∴，又所求函數(shù)的值域?yàn)椋环椒?：數(shù)形結(jié)合，設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知，求的取值范圍“下面的思路：（數(shù)形結(jié)合）例7設(shè)函數(shù)，（1）求函數(shù)的定義域；（2）問(wèn)是否存在最大值與最小值？如果存在，請(qǐng)把它寫出來(lái)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由，解得 ①當(dāng)時(shí)，①不等式解集為；當(dāng)時(shí)，①不等式解集為，∴的定義域?yàn)椋?）原函數(shù)即，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)既無(wú)最大值又無(wú)最小值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值，但無(wú)最小值例8。 求函數(shù)，x∈[a,a+2]的最小值。，x≥0時(shí)，由得，x=0或x=2。x0時(shí)，由得，x=0或x=2， （可見(jiàn)導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)0），下面只需研究0在開區(qū)間（a,a+2）內(nèi)，左邊或右邊）① 即時(shí)，∴x∈[a,a+2]時(shí),，∴x∈[a,a+2時(shí)，函數(shù)f(x)在[a,a+2]上是增函數(shù)，此時(shí)f(x)的最小值為；②當(dāng)0,即2a0時(shí)，2a+20時(shí)，此時(shí)，,此時(shí)f(x)的值域?yàn)?；時(shí)，此時(shí)f(x)的值域?yàn)閇0，]；此時(shí)f(x)的最小值為；③a0時(shí)，此時(shí)f(x)的最小值為；綜上，f(x)的最小值為；例9設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．（1）討論的奇偶性； （2）求的最小值．解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，， ．此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（２）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)．若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)在上的最小值為；若，則函數(shù)在上的最小值為，且；② 當(dāng)時(shí)，函數(shù)；若，則函數(shù)在上的最小值為，且．若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)在上的最小值為．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是．變式1：設(shè)函數(shù)，．（１） 判斷函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)的最小值．解：（１），由于，．故既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（２）＝由于在上的最小值為，在內(nèi)的最小值為．故函數(shù)在內(nèi)的最小值為．例10：已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞，(1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值 (2)若對(duì)任意x∈［1,+∞,f(x)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 思路分析 解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得 (1)解 當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x++2∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)= (2)解法一 在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 設(shè)y=x2+2x+a,x∈［1,+∞，∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a－3 解法二 f(x)=x++2,x∈［1,+∞當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)min=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a－3 變式練習(xí)1：不等式對(duì)所有都成立，求實(shí)數(shù)的最大值。解：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求分段函數(shù)的最小值；，所以函數(shù)的值域?yàn)?，因此?duì)所有的x恒成立，因此P的最大值為3。變式練習(xí)2：設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。（Ⅰ）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)；（Ⅱ）當(dāng)a0時(shí)，求g(a).解：要使有t意義，必須1+x≥0且1x≥0，即1≤x≤1,∴t≥0 ①t的取值范圍是由①得∴m(t)=a()+t=（2）由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值。注意到直線是拋物線的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論。當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向上的拋物線的一段，由0知m(t)在上單調(diào)遞增，∴g(a)=m(2)=a+2(2)當(dāng)a=0時(shí)，m(t)=t, ,∴g(a)=2.(3)當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即則若，即則若，即則綜上有 例11．已知函數(shù)，（為常數(shù)）．函數(shù)定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)，（1）求對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充分必要條件（用表示）；（2）設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，且．若，求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為（閉區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）解：（1）由的定義可知，（對(duì)所有實(shí)數(shù)）等價(jià)于（對(duì)所有實(shí)數(shù)）這又等價(jià)于，即對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立. （*）由于的最大值為，故（*）等價(jià)于，即，這就是所求的充分必要條件（2）分兩種情形討論（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知（對(duì)所有實(shí)數(shù)）Oyx(a,f(a)
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