二次函數(shù)的最值問題(編輯修改稿)
2025-04-20 06:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 k②由①②解得a=，k=﹣∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x﹣4）2﹣（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對(duì)稱∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值∴DB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，）（3）由（1）知點(diǎn)C（4，），又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60176。，∵AC=BC，∴∠ACB=120176。①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過Q作QN⊥x軸于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120176。，則∠QBN=60176?！郠N=3，BN=3，ON=10，此時(shí)點(diǎn)Q（10，），如果AB=AQ，由對(duì)稱性知Q（﹣2，）②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，△QAB就是△ACB， 此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，），經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)（10，）與（﹣2，）都在拋物線上綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q，使△QAB∽△ABC點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（10，）或（﹣2，）或（4，）． 如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)． （1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，2），∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx2，將A（4，0），B（1，0）代入，得， 解得， ∴此拋物線的解析式為； （2）存在， 如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM=4m，∵∠COA=∠PMA=90176。， ∴①當(dāng)時(shí)，△APM∽△ACO，即4m=2 ， 解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1）；②當(dāng)時(shí)，△APM∽△CAO，即，解得m1=4，m2=5（均不合題意，舍去），∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P（2，1），類似地可求出當(dāng)m4時(shí)，P（5，2），當(dāng)m1時(shí)，P（3，14），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，2）或（3，14）； （3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過D作y 軸的平行線交AC于E，由題意可求得直線AC的解析式為， ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴∴∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC的面積最大， ∴D（2，1）。4如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，線段EF在對(duì)角線AC上，EG⊥AD，F(xiàn)H⊥BC，垂足分別是G，H，且EG+FH=EF．（1）求線段EF的長(zhǎng)；（2）設(shè)EG=x，△AGE與△CFH的面積和為S，寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出S的最小值．5．如圖，點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn)(C點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合)，分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與CE相交于點(diǎn)N．(1)求證：MN∥AB；
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