數(shù)學(xué)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題(編輯修改稿)
2025-05-01 04:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 意均成立. 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（I）函數(shù)的圖像是開口向上，對稱軸為直線的拋物線（i）若，即此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是（ii）若，即此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減于是（iii）若，即此時函數(shù)的對稱軸在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是綜上可知，（II）要使對于任意的均成立，只需，下求由函數(shù)的圖像可見，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減于是又故的最小值為例1已知函數(shù)（），記是在區(qū)間上的最大值.（Ⅰ）當(dāng)且時，求的值；（Ⅱ）若，證明.【解析】（I）函數(shù)的圖像是開口向上，對稱軸為直線的拋物線而函數(shù)的圖像是將函數(shù)在軸上方的圖像保持不變、把它在軸下方的圖像翻折上去得到的（I）當(dāng)時，函數(shù)（i）若此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是，即（舍去）（ii）若此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減于是，即（舍去）（iii）若此時函數(shù)的對稱軸在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是當(dāng)時，舍去當(dāng)時， 或，均舍去綜上可知，或（II）又， ， 于是有故，即例1（2015浙江高考）已知函數(shù)（，），記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)，滿足時，求的最大值.【分析】本題考查的知識點是二次函數(shù)在區(qū)間定、對稱軸位置變化的情形下的最值問題. 解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解“是在區(qū)間上的最大值”這一條件，并結(jié)合函數(shù)圖像以及三角不等式等知識?！窘馕觥浚?）函數(shù)的圖像是開口向上，對稱軸為直線的拋物線而函數(shù)的圖像是將函數(shù)在軸上方的圖像保持不變、把它在軸下方的圖像翻折上去得到的，即此時函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間上于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)故（2）于是有，即，即，又，于是
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