數(shù)學(xué)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-05-01 04:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 意均成立. 若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（I）函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線的拋物線（i）若，即此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是（ii）若，即此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減于是（iii）若，即此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是綜上可知，（II）要使對(duì)于任意的均成立，只需，下求由函數(shù)的圖像可見(jiàn)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減于是又故的最小值為例1已知函數(shù)（），記是在區(qū)間上的最大值.（Ⅰ）當(dāng)且時(shí)，求的值；（Ⅱ）若，證明.【解析】（I）函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線的拋物線而函數(shù)的圖像是將函數(shù)在軸上方的圖像保持不變、把它在軸下方的圖像翻折上去得到的（I）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（i）若此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是，即（舍去）（ii）若此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減于是，即（舍去）（iii）若此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是當(dāng)時(shí)，舍去當(dāng)時(shí)， 或，均舍去綜上可知，或（II）又， ， 于是有故，即例1（2015浙江高考）已知函數(shù)（，），記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)，滿足時(shí)，求的最大值.【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)在區(qū)間定、對(duì)稱(chēng)軸位置變化的情形下的最值問(wèn)題. 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解“是在區(qū)間上的最大值”這一條件，并結(jié)合函數(shù)圖像以及三角不等式等知識(shí)?！窘馕觥浚?）函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線的拋物線而函數(shù)的圖像是將函數(shù)在軸上方的圖像保持不變、把它在軸下方的圖像翻折上去得到的，即此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸不在區(qū)間上于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)故（2）于是有，即，即，又，于是
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