數(shù)學(xué)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題(已修改)
2025-04-16 04:24 本頁面
【正文】 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題【學(xué)前思考】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值時(shí)的，只能是其圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或給定區(qū)間的端點(diǎn). 因此，影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個(gè)因素：拋物線的開口方向、對(duì)稱軸以及給定區(qū)間的位置. 在這三大因素中，最容易確定的是拋物線的開口方向（與二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān)），而關(guān)于對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系的討論是解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的關(guān)鍵. 本節(jié)，我們將以若干實(shí)例說明解決此類問題的具體方法.【知識(shí)要點(diǎn)＆例題精講】 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，常見的有以下三種類型，分別是：CaseⅠ、給定區(qū)間確定，對(duì)稱軸位置也確定說明：此種類型是較為簡(jiǎn)單的一種，只要找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸，畫出其函數(shù)圖像，再將給定區(qū)間標(biāo)出，那么二次函數(shù)的最值一目了然.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是確定的，其對(duì)稱軸的位置也確定，則要求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，只需先考察其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)是否在給定區(qū)間內(nèi). （i）當(dāng)其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)在給定區(qū)間內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在給定區(qū)間上不具有單調(diào)性，此時(shí)其一個(gè)最值在頂點(diǎn)處取得，另一個(gè)最值在離對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；（ii）當(dāng)其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)不在給定區(qū)間內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在給定區(qū)間上具有單調(diào)性，此時(shí)可利用二次函數(shù)的單調(diào)性確定其最值.例二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是_______.例函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_______，最小值是_______.例已知，則函數(shù)的最大值是_______，最小值是______.CaseⅡ、給定區(qū)間確定，對(duì)稱軸位置變化說明：此種類型是非常重要的，是考試必考點(diǎn)，主要是討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，一般需要分對(duì)稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部以及右側(cè)三種情況進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)不同情況求出相應(yīng)的最值.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是確定的，而其對(duì)稱軸的位置是變化的，則要求二次函數(shù)（）在給定區(qū)間上的最值，需對(duì)其對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論
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