二次函數(shù)根的分布和最值(編輯修改稿)
2025-06-12 01:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 +35．(2) (2) 基礎(chǔ)題例1．設(shè)有一元二次方程x2+2(m1)x+(m+2)＝0．試問：(1)m為何值時，有一正根、一負(fù)根．(2)m為何值時，有一根大于另一根小于1．(3)m為何值時，有兩正根．(4)m為何值時，有兩負(fù)根．(5)m為何值時，僅有一根在[1，4]內(nèi)？解：(1)設(shè)方程一正根x2，一負(fù)根x1，顯然xx2＜0，依違達(dá)定理有m+2＜0．∴ m＜2．反思回顧：xx2＜0條件下，ac＜0，因此能保證△＞0．(2)設(shè)x1＜1，x2＞1，則x11＜0，x21＞0只要求(x11)(x21)＜0，即x1x2(x1+x2)+1＜0．依韋達(dá)定理有(m+2)+2(m1)+1＜0．(3)若x1＞0，x2＞0，則x1+x2＞0且x1，x2＞0,故應(yīng)滿足條件依韋達(dá)定理有(5)由圖象不難知道，方程f(x)＝0在[3，4]內(nèi)僅有一實(shí)根條件為f(3)f(4)＜0，即[9+6(m1)+(m+2)][16+8(m1)+(m+2)]＜0．∴(7m+1)(9m+10)＜0．例2. 當(dāng)m為何值時，方程 有兩個負(fù)數(shù)根？解：負(fù)數(shù)根首先是實(shí)數(shù)根，∴ ，由根與系數(shù)關(guān)系：要使方程兩實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，必須且只需兩根之和為負(fù)，兩根之積為正．由以上分析，有即 ∴當(dāng) 時，原方程有兩個負(fù)數(shù)根．(3) (3) 應(yīng)用題例1. m取何實(shí)數(shù)值時，關(guān)于x的方程x2+（m2）x＋5m=0的兩個實(shí)根都大于2？解：設(shè)f（x）=x2+（m2）x+5m，如圖原方程兩個實(shí)根都大于2所以當(dāng)5＜m≤4時，方程的兩個實(shí)根大于2．例2．已知關(guān)于x方程：x22ax＋a＝0有兩個實(shí)根α，β，且滿足0＜α＜1，β＞2，求實(shí)根a的取值范圍．解：設(shè)f（x）=x22ax＋a，則方程f（x）=0的兩個根α，β就是拋物線y=f（x）與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖0＜α＜1，β＞2的條件是：＜1，β＞2．例3．m為何實(shí)數(shù)時，關(guān)于x的方程x2+（m2）x＋5m=0的一個實(shí)根大于2，另一個實(shí)根小于2.解：設(shè)f（x）=x2＋（m2）x＋5m，如圖，原方程一個實(shí)根大于2，另一個實(shí)根小于2的充要條件是f（2）＜0，即4＋2（m2）＋5m＜0．解得m＜5．所以當(dāng)m＜5時，方程的一個實(shí)根大于2，另一個實(shí)根小于2．(4) (4) 提高題例1．已知函數(shù) 的圖象都在x軸上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）當(dāng) ，則所給函數(shù)為二次函數(shù)，圖象滿足： ，即 解得： （2）當(dāng) 時， 若 ，則 的圖象不可能都在x軸上方，∴ 若 ，則y=3的圖象都在x軸上方由（1）（2）得： 反思回顧：此題沒有說明所給函數(shù)
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