數(shù)學(xué)二次函數(shù)中絕對(duì)值問(wèn)題的求解策略(編輯修改稿)
2025-05-01 04:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ≤3矛盾。（2）當(dāng),即a3時(shí)，由,得a=19,或a=－21,又a3，∴a=19.（3）當(dāng)時(shí)，a≤－1，與a1矛盾，故對(duì)稱(chēng)軸不可能在x=a的右側(cè)。 抽象函數(shù)常見(jiàn)題型例析這里所謂抽象函數(shù)，是指只給出函數(shù)的一些性質(zhì)，而未給出函數(shù)解析式的一類(lèi)函數(shù)，抽象函數(shù)一般以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景背景，且構(gòu)思新穎，條件隱蔽、技巧性強(qiáng)，解法靈活。因此，抽象函數(shù)在近幾年的各種考試中，成為考查的重點(diǎn)。一、求函數(shù)解析式例1 是否存在這樣的函數(shù)f(x)，使下列3個(gè)條件：（1）f(n)0，nN*；（2）f(n1+n2)=f(n1)f(n2),nn2N*；（3）f(2)=4同時(shí)成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不成立，說(shuō)明理由。分析 題設(shè)給出了函數(shù)f(x)滿(mǎn)足的3個(gè)條件，探索結(jié)論是否成立。我們可以用不完全歸納法尋找f(x)的解析式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。解 若存在這樣的函數(shù)f(x)，由條件得f(2)=f(1+1)=[f(1)]2=4,∴f(1)=(2)=22,∴f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=23,f(4)=f(3+1)=f(3)f(1)=24.由此猜想f(x)=2x(xN*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想。（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)猜想成立，即f(k)=2k，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，則f(k+1)=f(k)f(1)=2k2=2k+1仍然成立。綜上所述，存在函數(shù)f(x)=2x,對(duì)xN*成立。利用所給條件，通過(guò)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，用不完全歸納法問(wèn)題出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，是處理抽象函數(shù)遞推型綜合題的常用方法。二、判斷函數(shù)的單調(diào)性例2 設(shè)f(x)是定義在[－1，1]上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(－x)=－f(x)，對(duì)任意a、b[－1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有0。試判斷f(x)的單調(diào)性。分析 由函數(shù)單調(diào)性的定義，首先問(wèn)題著f(x2)－f(x1)，這里x1，x2[－1,1]，且x1x2，再利用題設(shè)中的條件變形，考察f(x2)－(x1)的符號(hào)，就可得出結(jié)論。解 設(shè)x1,x2[－1,1]，且x1x2，由條件，得,又x2－x10,∴f(x2)－f(x1)0,f(x2)f(x1),∴f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)。三、求函數(shù)值或值域例3 已知定義在N*上，且在N*上取值的增函數(shù)y=f(n)。對(duì)任意m，nN*，當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí)，f(mn)=f(m)f(n).又f(180)=180，求f(2004)值。分析 由f(180)=180及題設(shè)可推出f(1)=1，再利用f(n)N*尋找f(n)及n關(guān)系，然后求值。解 ∵f(180)=f(1180)=f(1)f(180)=180，即f(1)f(180)=180,∴f(1)=(n)是增函數(shù)及函數(shù)值是自然數(shù)可得，1=f(1)f(2)f(3)…f(179)f(180)=180.∴f(n)=n(1≤n≤180,nN*).∴f(2004)=f(12167)=f(12)f(167)=12167=2004.注 一般地，抽象函數(shù)求值，要先找自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，根據(jù)找到的關(guān)系再注值。例4 f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：（1）f(－x)=－f(x)；（2）對(duì)任意x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y)；（3）當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，且f(1)=－2。求函數(shù)f(x)在[－3，3]上的最值。分析 抽象函數(shù)求最值問(wèn)題，一般是先根據(jù)條件確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再確定其最值。解 設(shè)0≤x1x2≤3，則f(x2)=f[(x2－x1)+x1]=f(x2－x1)+f(x1)即f(x2－x1)=f(x2)－f(x1).∵x2－x10,∴f(x2－x1)0.∴f(x2)－f(x1)0，即f(x1)f(x2).∴f(x)在[0,3]上是減函數(shù)。又由f(－x)=－f(x)，得f(x)在[－3,0]上也是減函數(shù)，從而
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