數(shù)學(xué)二次函數(shù)中的面積計(jì)算問(wèn)題(包含鉛垂高)(編輯修改稿)
2025-05-01 04:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 知：t1，t2是方程t 2＋2t－24＝0，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且t1＜t2，拋物線y＝x 2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（t1，0），B（0，t2）．（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求□OPAQ的面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；BAOQPxy（3）在（2）的條件下，當(dāng)□OPAQ的面積為24時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使□OPAQ為正方形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．10．如圖，已知拋物線y＝ax 2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長(zhǎng)（OA＜OC）是方程x 2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的解析式；yxBDOAEC（3）若點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長(zhǎng)為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90176。，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3 : 4．動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以2厘米/秒的速度沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PC與BQ相互平分；（3）連結(jié)PQ ，設(shè)△PBQ的面積為y，探求y與t的函數(shù)關(guān)系式，CcDcAcBcQcPc求t為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？12．如圖①，已知拋物線y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(－3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；OCABxyM（圖①）OCABxy（圖②）（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．13．如圖，已知拋物線y＝a(x－1)2＋(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為D，過(guò)O作射線OM∥AD．過(guò)頂點(diǎn)D平行于軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在軸正半軸上，連結(jié)BC．（1）求該拋物線的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位和2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最??？并求出最小值及此時(shí)PQ的長(zhǎng)．DCMyOABQPx14．如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A的直線y＝－x＋m與x軸交于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）求過(guò)A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式；yxBAOE（3）若點(diǎn)P是（2）中求出的拋物線AE段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．15．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、C(0，12) 兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4. 設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N. 將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P1MN. 在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒. 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式. OPCBAxy圖1圖2MOAxPNCBy二次函數(shù)中的面積計(jì)算問(wèn)題參考答案 3. 4. 8：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120176。，∴∠BOM＝60176。．AxyBO圖1M∴OM＝OBcos60176。＝2＝1，BM＝OBsin60176。＝2＝．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)． （2）設(shè)經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax 2＋bx＋c∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴c＝0．∴ 解得∴所求拋物線的解析式為y＝x 2＋x． （3）存在． 如圖2，連接AB，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C，連接OC．∵OB的長(zhǎng)為定值，∴要使△BOC的周長(zhǎng)最小，必須BC＋OC的長(zhǎng)最?。唿c(diǎn)A與點(diǎn)O關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴OC＝AC．∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：此時(shí)BC＋OC最小，點(diǎn)C的位置即為所求．設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋m，將A(－2，0)，B(1，)代入，得AxyBO圖2C 解得∴直線AB的解析式為y＝x＋．拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝－1，即x＝－1．將x＝－1代入直線AB的解析式，得y＝(－1)＋＝．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，)． （4）△PAB有最大面積． AxyBO圖3DP如圖3，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D．∵S△PAB ＝S△PAD＋S△PBD＝(yD－yP)(xB－xA)＝[(x＋)－(x 2＋x)](1＋2)＝－x 2－x＋＝－(x＋)2＋∴當(dāng)x＝－時(shí)，△PAB的面積有最大值，最大值為． 此時(shí)yP＝(－)2＋(－)＝－．∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，－)．：（1）將A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x 2＋bx
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