數(shù)學(xué)二次函數(shù)根的分布(編輯修改稿)
2025-05-01 04:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 f(x)在[3，4]上的最大值與最小值．解：經(jīng)配方有y＝2(xa)2+3． 對稱軸為x=a．當(dāng)a≤3時(shí)，因?yàn)閰^(qū)間[3，4]在對稱軸的右邊，因此，當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，隨x變大，y的值也變大．當(dāng)3＜a＜4時(shí)，對稱軸x=a在區(qū)間[3，4]內(nèi)，此時(shí)，若3≤x≤a，隨x變大，y的值變小，但若a≤x≤4，隨x變大，y的值變大．當(dāng)4≤a時(shí)，因?yàn)閰^(qū)間[3，4]在對稱軸的左邊，因此，當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，隨x變大，y的值反而變小．根據(jù)上述分析，可知．當(dāng)a≤3時(shí)，ymax=f(4)=2a216a+35．ymin=f(3)＝2a212a+21．當(dāng)3＜a＜4時(shí)，ymin＝f(a)＝3．其中，a≤，ymax＝f(4)＝2a216a+35．a(chǎn)≥，ymax＝f(3)＝2a212a+21．當(dāng)a≥4時(shí)，ymax＝f(3)＝2a212a+21．ymin＝f(4)＝2a216a+35．(1) (2) 基礎(chǔ)題 例1．設(shè)有一元二次方程x2+2(m1)x+(m+2)＝0．試問：(1)m為何值時(shí)，有一正根、一負(fù)根．(2)m為何值時(shí)，有一根大于另一根小于1．(3)m為何值時(shí)，有兩正根．(4)m為何值時(shí)，有兩負(fù)根．(5)m為何值時(shí)，僅有一根在[1，4]內(nèi)？解：(1)設(shè)方程一正根x2，一負(fù)根x1，顯然xx2＜0，依違達(dá)定理有m+2＜0．∴ m＜2． 反思回顧：xx2＜0條件下，ac＜0，因此能保證△＞0．(2)設(shè)x1＜1，x2＞1，則x11＜0，x21＞0只要求(x11)(x21)＜0，即x1x2(x1+x2)+1＜0．依韋達(dá)定理有 (m+2)+2(m1)+1＜0． (3)若x1＞0，x2＞0，則x1+x2＞0且x1，x2＞0,故應(yīng)滿足條件依韋達(dá)定理有(5)由圖象不難知道，方程f(x)＝0在[3，4]內(nèi)僅有一實(shí)根條件為f(3)f(4)＜0，即[9+6(m1)+(m+2)][16+8(m1)+(m+2)]＜0．∴(7m+1)(9m+10)＜0． 例2. 當(dāng)m為何值時(shí)，方程 有兩個(gè)負(fù)數(shù)根？解：負(fù)數(shù)根首先是實(shí)數(shù)根，∴ ，由根與系數(shù)關(guān)系：要使方程兩實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，必須且只需兩根之和為負(fù)，兩根之積為正．由以上分析，有即 ∴當(dāng) 時(shí)，原方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根．
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