函數(shù)的值域與最值-在線瀏覽
2025-07-03 02:04本頁面
【正文】 率問題,作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時(shí)取得,從而解得: y變式1：已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍（答：、）；變式2：求函數(shù)y =+ 的值域. 提示：此題可以看做到和兩點(diǎn)的距離和。（答：－48）例題選講例求下列函數(shù)的值域① y=3x+2(1x1) 解：①∵1x1，∴33x3，∴13x+25，即1y5，∴值域是[1，5]② 解： ∵ ∴ 即函數(shù)的值域是 { y| y2} ③ 解： ∵ ∴ 即函數(shù)的值域是 { y| y206。1}（此法亦稱分離常數(shù)法）④解：當(dāng)x0，∴=，當(dāng)x0時(shí)，=－∴值域是[2，+)（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：∴值域是[2，+)例2．求下列函數(shù)的值域：（1）；解：（配方法），∴的值域?yàn)?。解：（利用函?shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為。（2）；解：求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為。（3）；解：（法一）反解法：由得，由此得∴原函數(shù)的值域?yàn)?。?）；解：（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，代入得 ∵t0 ∴，∴原函數(shù)值域?yàn)?。?）；解：數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域?yàn)?。由得? ①①當(dāng)即時(shí)，①即，∴②當(dāng)即時(shí)，∵時(shí)方程恒有實(shí)根，∴，∴且，∴原函數(shù)的值域?yàn)?。∴，∴原函?shù)的值域?yàn)?。解：原函?shù)可化為：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域?yàn)?。方?（或換元）：，或，即函數(shù)的值域?yàn)榉椒?：（數(shù)形結(jié)合）——斜率。解：（1），∴y表示經(jīng)過兩點(diǎn)P（，）、Q（1，0）的直線l的斜率。（11）；解：方法1：（換元）設(shè)t=,則所以所求函數(shù)的值域?yàn)榉椒?：（單調(diào)性），函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在單調(diào)遞增，因此函數(shù)的值域?yàn)?。所以x2y的最大值為10。方法3：設(shè)，即，設(shè)，則x2y=,所以x2y的最大值為10。1時(shí) ∵x206。 定義域 { x| x185。3} ∴再檢驗(yàn) y=1 代入①求得 x=2 ∴y185。1且 y185。2) 由此可得 y185。1且 y185。例已知函數(shù),求的值域。解：（1）由，解得 ①當(dāng)時(shí)，①不等式解集為；當(dāng)時(shí)，①不等式解集為，∴的定義域?yàn)椋?）原函數(shù)即，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)既無最大值又無最小值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值，但無最小值例8。，x≥0時(shí)，由得，x=0或x=2。解：將問題轉(zhuǎn)化為求分段函數(shù)的最小值；，所以函數(shù)的值域?yàn)椋虼藢?duì)所有的x恒成立，因此P的最大值為3。（Ⅰ）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)；（Ⅱ）當(dāng)a0時(shí)，求g(a).解：要使有t意義，必須1+x≥0且1x≥0，即1≤x≤1,∴t≥0 ①t的取值范圍是由①得∴m(t)=a()+t=（2）由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值。當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向上的拋物線的一段，由0知m(t)在上單調(diào)遞增，∴g(a)=m(2)=a+2(2)當(dāng)a=0時(shí)，m(t)=t, ,∴g(a)=2.(3)當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即則若，即則若，即則綜上有 例11．已知函數(shù)，（為常數(shù)）．函數(shù)定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)，（1）求對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充分必要條件（用表示）；（2）設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，且．若，求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為（閉區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）解：（1）由的定義可知，（對(duì)所有實(shí)數(shù)）等價(jià)于（對(duì)所有實(shí)數(shù)）這又等價(jià)于，即對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立. （*）由于的最大值為，故（*）等價(jià)于，即，這就是所求的充分必要條件（2）分兩種情形討論（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知（對(duì)所有實(shí)數(shù)）Oyx(a,f(a))(b,f(b))則由及易知， 再由的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度為（ii）時(shí)，不妨設(shè)，則，于是 當(dāng)時(shí)，有，從而；當(dāng)時(shí)，有從而 ；當(dāng)時(shí)，及，由方程Oyx(a,f(a))(b,f(b))(x0,y0)(p2,2)(p1,1)解得圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ⑴顯然，這表明在與之間。，且同時(shí)滿足：(1)對(duì)任意，總有；(2)(3)若且，則有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.求證：.解：（I）令，由(3),則由對(duì)任意，總有 （2分）（II）任意且，則 （6分）(III) (8分)，即。 （14分）例13．，可全部租出。租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元。（2）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100－）（x－150）－50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050。即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)表達(dá)式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達(dá)式后，還要注意函數(shù)定義域常受到實(shí)際問題本
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1