函數的值域與最值-預覽頁
【正文】 ）；變式4：函數的值域為____（答： [，1]）(提示：三角代換)變式5：求函數的值域（答：[,8]）(提示：令t=，)。答案：。解：本題中含有二次函數可利用配方法求解,為便于計算不妨設:配方得:利用二次函數的相關知識得,從而得出：。對數函數的值域為R；分式函數的值域為。二、基本函數的值域一次函數的定義域為R，值域為R； 二次函數的定義域為R，反比例函數的定義域為{x|x0}，的值域為指數函數的值域為。 練習： 例：求函數的值域。（動軸定區(qū)間）（2）求的最值（定軸動區(qū)間）變式4：已知sinx＋siny＝，則函數μ＝sinx－cos2y的最大值為________；最小值為_________。變式1：求函數的值域. 解析：令 （t0），則，故；用配方法求的y的值域為。B解：題中出現(xiàn)而由此聯(lián)想到將視為一整體，令由上面的關系式易得故原函數可變形為：（5）分離常數法（分式轉化法）；，可通過分離常數法，化成(常數)的形式來求值域． 例：求函數的值域。反解得 即反函數的定義域即是原函數的值域。c（y）≥0，從而確定函數的最值，檢驗這個最值在定義域內有相應的x值.例：求函數的值域。 ②；[1,5]③注意：，如果定義域不是R，也可用，但需對最后的結果進行檢驗、既對y取得等號值的時候對應的x值是否在定義域范圍內。 （9）基本不等式法：利用基本不等式，；求函數的值域時，應注意“一正、二定、三相等”.設成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是____________.（答：）。反例：看起來可用均值不等式，其實不能（1）求函數 的值域（2）求函數的最小值。解：易知定義域為，而在上均為增函數，當然也可用換元法變式：求，（答：）的值域為______（答： ）；函數f(x)=的值域（）函數的值域【】（11）數形結合：分析函數解析式表示的幾何意義，根據函數圖象或函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域 例：求函數的值域.解:看到該函數的形式,我們可聯(lián)想到直線中已知兩點求直線的斜率的公式,將原函數視為定點(2,3)到動點的斜率,又知動點滿足單位圓的方程,從而問題就轉化為求點（2，3）到單位圓連線的斜率問題,作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點的連線和圓相切時取得,從而解得: y變式1：已知點在圓上，求及的取值范圍（答：、）；變式2：求函數y =+ 的值域. 提示：此題可以看做到和兩點的距離和。1}（此法亦稱分離常數法）④解：當x0，∴=，當x0時，=－∴值域是[2，+)（此法也稱為配方法）函數的圖像為：∴值域是[2，+)例2．求下列函數的值域：（1）；解：（配方法），∴的值域為。（2）；解：求復合函數的值域：設（），則原函數可化為。（4）；解：（代數換元法）：設，則，代入得 ∵t0 ∴，∴原函數值域為。由得： ①①當即時，①即，∴②當即時，∵時方程恒有實根，∴，∴且，∴原函數的值域為。解：原函數可化為：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函數的值域為。解：（1），∴y表示經過兩點P（，）、Q（1，0）的直線l的斜率。所以x2y的最大值為10。1時 ∵x206。3} ∴再檢驗 y=1 代入①求得 x=2 ∴y185。2) 由此可得 y185。例已知函數,求的值域。，x≥0時，由得，x=0或x=2。（Ⅰ）設t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t)；（Ⅱ）當a0時，求g(a).解：要使有t意義，必須1+x≥0且1x≥0，即1≤x≤1,∴t≥0 ①t的取值范圍是由①得∴m(t)=a()+t=（2）由題意知g(a)即為函數的最大值。，且同時滿足：(1)對任意，總有；(2)(3)若且，則有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)設數列的前項和為，且滿足.求證：.解：（I）令，由(3),則由對任意，總有 （2分）（II）任意且，則 （6分）(III) (8分)，即。租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元。即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.點評：根據實際問題求函數表達式，是應用函數知識解決實際問題的基礎，在設定或選定變量去尋求等量關系并求得函數表達式后，還要注意函數定義域常受到實際問題本身的限制。設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4++3。當,故T()是增函數(也可以用二次函數的單調性判斷)。解：（1）構造函數則故：（2）原不等式可化為構造函數，其圖象是一條線段。0(配方法求二次函數的最值)20．設是二次函數，若的值域是，則的值域是 ；21．設函數，則其反函數的定義域為 22．若,試求的最大值。8．對于圓上任一點P（x，y），不等式恒成立，求實數m的取值范圍；解：， 9．（1）若不等式對于一切x206。－163。0時，則f（x）在〔0，〕上是增函數，應有恒成立，故a179。a163。a方法2：
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