函數(shù)對稱性、周期性全解析(編輯修改稿)
2025-07-13 04:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值. ①證明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.解：∵f (x)是以為周期的周期函數(shù)，∴，又∵是奇函數(shù)，∴，∴②當時，由題意可設(shè)，由得，∴，∴③∵是奇函數(shù)，∴，又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數(shù)，∴可設(shè)，而，∴，∴當時，f (x)=3x，從而當時，故時，f (x)= 3x，.∴當時，有，∴0. 當時，∴∴13．設(shè)ｆ（ｘ）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線ｘ＝１對稱對任意ｘ１，ｘ２∈［０］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ；(Ⅱ)證明ｆ（ｘ）是周期函數(shù)；（Ⅲ）記＝ｆ（２ｎ＋），求．(Ⅰ)解：因為對ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）ｆ（x２）,所以ｆ（１）＝ａ＞0， ∴ (Ⅱ)證明：依題設(shè)ｙ＝ｆ（ｘ）關(guān)于直線ｘ＝１對稱，故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函數(shù)知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，將上式中－ｘ以ｘ代換，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ這表明ｆ（ｘ）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期. （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］∵ ∴ ∵ｆ（ｘ）的一個周期是2∴ｆ（２ｎ＋）=ｆ（）,因此an=函數(shù)對稱性與周期性幾個重要結(jié)論賞析湖南 周友良 黃愛民【大中小】【關(guān)閉】對稱性和周期性是函數(shù)的兩個重要性質(zhì)，下面總結(jié)這兩個性質(zhì)的幾個重要結(jié)論及運用它們解決抽象型函數(shù)的有關(guān)習題。一、幾個重要的結(jié)論（一）函數(shù)圖象本身的對稱性（自身對稱）函數(shù)滿足（T為常數(shù)）的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱。函數(shù)滿足（T為常數(shù)）的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱。函數(shù)滿足的充要條件是圖象關(guān)于直線對稱。如果函數(shù)滿足且，（和是不相等的常數(shù)），則是以為為周期的周期函數(shù)。如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。（二）兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）曲線與關(guān)于X軸對稱。曲線與關(guān)于Y軸對稱。曲線與關(guān)于直線對稱。曲線關(guān)于直線對稱曲線為曲線關(guān)于直線對稱曲線為曲線關(guān)于直線對稱曲線為曲線關(guān)于點對稱曲線為二、試試看
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