20xx高中數(shù)學(xué)黃金100題系列——專題10函數(shù)的周期性與對(duì)稱性解析版word版含解析(編輯修改稿)
2024-12-22 01:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 xD? ，都有 ( ) ( )f x T f x?? ，則 T 叫做函數(shù) ()fx的周期 . ① 若 ( ) ( )f x a f x?? ，周期 Ta? ； ② 若 ( ) ( )f x a f x? ? ? （相反），周期 2Ta? ； ③ 若)(1)( xfaxf ??( 0?a )（互倒），周期 2Ta? ； ④ 若 1()()f x a fx? ? ?( 0?a )（反倒），周期 2Ta? ； ⑤ 若 ( ) ( )f x a f x a? ? ?，周期 2Ta? ； ⑥ 若 ( ) ( ) ( )f x f x a f x a? ? ? ?，周期 6Ta? . 考點(diǎn)二 函數(shù)的稱性 個(gè)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系： 若函數(shù) ()fx滿足 ( ) ( )f a x f a x? ? ?，則 ()y f x? 關(guān)于直線 xa? 對(duì)稱，若函數(shù) ()fx滿足 ( ) ( )f a x f b x? ? ?，則 ()y f x? 關(guān)于直線 2abx ?? 對(duì)稱。 ： 函數(shù) )( xafy ?? 與函數(shù) )( xbfy ?? 的圖像關(guān)于直線 2abx ?? 對(duì)稱；（巧記：相等求 x ） 函數(shù) )( xafy ?? 與函數(shù) )( xbfy ??? 的圖像關(guān)于點(diǎn) )0,2( ab? 對(duì)稱；（巧記：相等求 x ） 考點(diǎn)三 周期與對(duì)稱的關(guān)系： ① 若 )(xf 的圖像有兩條對(duì)稱軸 ax? 和 bx? ( ba? )，則 )( xf 為周期函數(shù)， ||2 ab?為一個(gè)周期 .（告知周期 T 和其中一條對(duì)稱軸，可以寫出其他相鄰的對(duì)稱軸 .） ② 若 )(xf 的圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心 )0,(a 和 )0,(b ( ba? )，則 )(xf 為周期函數(shù)，||2 ab? 為一個(gè)周期 .（告知周期 T 和其中一個(gè)對(duì)稱中心，可以寫出其他相鄰的對(duì)稱中心 .） ③ 若 )(xf 的圖像有一條對(duì)稱軸 ax? 和一個(gè)對(duì)稱中心 )0,(b ( ba? )，則 )(xf 為周期函數(shù)， ||4 ab? 為一個(gè)周期 . 考點(diǎn)四、 如何計(jì)算一般形式的周期和對(duì)稱 ： 若 )()( bxfaxf ??? ( ba? )，則 | ( ) | | |T a b a b? ? ? ? ?；（巧記：消去 x ） 若 )()( xbfxaf ??? ，則 (xf 的圖像關(guān)于直線2bax ??對(duì)稱；（巧記：消去 x ，相加除 2） 若 )()( xbfxaf ???? ，則 )(xf 的圖像關(guān)于點(diǎn) )0,2( ba?對(duì)稱；（巧記：消去 x ，相加除 2） 若 cxbfxaf ???? )()( ，則 (xf 的圖像關(guān)于點(diǎn) )2,2( cba?對(duì)稱 .（巧記：消去 x ，相加除 2，除 2） IV．題型攻略深度挖掘 【考試方向】 這類試題 包 括確定函數(shù) 周期性、對(duì)稱性、利用周期性求解析式或函數(shù)值、利用對(duì)稱性 進(jìn)行圖像變換 ， 都 是高考的熱點(diǎn)及重點(diǎn) .常與函數(shù)的圖象及其他性質(zhì)交匯命題 .題型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，函數(shù)的 周期 性、 對(duì)稱 性常與函數(shù)的其他性質(zhì)，如與 單調(diào) 性、 奇偶 性相結(jié)合求函數(shù)值或參數(shù)的取值范圍 .備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這部分內(nèi)容的訓(xùn)練 . 【技能方法】 解決此類問題一般會(huì)在周期上設(shè)置障礙，要通過周期的定義或有關(guān)結(jié)論算出已知函數(shù)的周期，再進(jìn)行求值等相關(guān)運(yùn)算，若是抽象函數(shù)，要求能夠熟練運(yùn)用賦值法。函數(shù)對(duì)稱性、周期性的考察，往往以三角函數(shù)為載體，考察其周期、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解，此類問題一般會(huì)在解析式上設(shè)置障礙，要求先對(duì)解析 式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，變形的過程就考察了三角函數(shù)的有關(guān)公式，化簡(jiǎn)常常借助輔助角公式把原函數(shù)解析式化為單一函數(shù) . 【 易錯(cuò)指導(dǎo) 】 （ 1）如果對(duì)于函數(shù) ()fx定義域中的任意 x ，滿足 ( ) ( )f x a f x b? ? ?，則得函數(shù) ()fx的周期是 || baT ?? ； （ 2） 如果對(duì)于函數(shù) ()fx定義域中的任意 x ，滿足 ( ) ( )f x a f x b? ? ? ?，則得函數(shù)()fx的對(duì)稱軸是 2bax ?? 。 V．舉一反三觸類旁通 考向 1 周期性與奇偶性相結(jié)合 【例 1】 【 2020 年高考四川理數(shù)】已知函數(shù) ()fx是定義在 R 上的周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) 0＜ x＜ 1時(shí)， ( ) 4xfx? ，則 5( ) (1)2ff??= . 【答案】 2 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時(shí)，只要把 5()2f ? 和(1)f ，利用奇偶性與周期性化為 (0,1) 上的函數(shù)值即可． 考向 2 對(duì)稱性與單調(diào)性相結(jié)合
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