函數周期性分類解析以與習題練習試題(編輯修改稿)
2025-04-20 12:16 本頁面
【文章內容簡介】 ＋bx＋c對任意實數t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(2)＜f(1)＜f(4) (1)＜f(2)＜f(4)(2)＜f(4)＜f(1) (4)＜f(2)＜f(1)函數的圖象關于直線對稱，則的值為（ ）A. 1 B. C. D. 如果直線與均為曲線的對稱軸且則的值為 。是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線對稱，且當時，則當時，= 。如果直線與直線關于直線對稱，則= ，= 。設函數定義在實數集上，則函數與的圖象關于（ ）A. 直線對稱 C. 直線對稱 已知函數f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因為f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2) 兩式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x) f(x)是以6為周期的周期函數 2004＝6334∴ f(2004)＝f(0)＝20041 已知對于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求證：f(x)是偶函數；⑵若存在正整數m使得f(m)＝0，求滿足f(x＋T)＝f(x)的一個T值(T≠0)⑴證明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)所以，f(x)為偶函數⑵令a＝x＋m，b＝m 得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0所以f(x＋2m)＝－f(x)于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m] ＝－f(x＋2m) ＝f(x)即T＝4m(周期函數)a) 數列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100.解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6為周期的周期數列，于是a100＝a616＋4＝a4＝－a又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0 S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100＝0＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a＋b＋(b－a)＋(－a)＝2b－ab) 對每一個實數對x,y,函數f(t)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,試求滿足f(a)＝a的所有整數a.解：令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1再令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2所以f(－1)＝－2又令x＝1，y＝－1，可得f⑴＝1令x＝y(tǒng)＝1得f⑵＝2f⑴＋1＋1＝4令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋x＋2即f(x＋1)－f(x)＝x＋2 ①當x取任意正整數時，f(x＋1)－f(x)＞0又f⑴＝1＞0所以f(x)＞0于是f(x＋1)＝f(x)＋x＋2＞x＋1即對任意大于1的正整數t，f(t)＞t在①中，令x＝－3，得f(－3)＝－1，進一步可得f(－4)＝1注意到f(x)－f(x＋1)＝－(x＋2)所以當x≤－4時，f(x)－f(x＋1)＞0即f(x)＞f(x＋1)＞f(x＋2)＞……＞f(－4)＝1所以x≤－4時，f(x)＞x綜上所述，滿足f(a)＝a的整數只有a＝1或a＝－2練習題二次函數的對稱性1．已知是二次函數，圖象開口向上, 比較大小。2．若二次函數的圖象開口向下，且f(x)=f(4x),比較的大小。3．二次函數滿足,求的頂點的坐標。4．已知,且.（1）寫出的關系式 （2）指出的單調區(qū)間。5．設二次函數滿足,圖象與軸交點為（0, 2），與軸兩交點間的距離為2，求的解析式。函數的對稱性、周期性與函數的解析式1． 已知是奇函數，當時，,求的解析式.2． 已知是偶函數，當時，,求的解析式.3． 已知函數的圖象與函數的圖象關于原點成中心對稱, 求的解析式。4． 設函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，若當x＜1時，y=x2＋1，求當x1時, ,f
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