蘇教版必修4高中數(shù)學(xué)131三角函數(shù)的周期性練習(xí)含解析(編輯修改稿)
2025-01-10 00:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x(x≠0) 不是周期函數(shù) ， 我們可用反 證法證之． 若 f(x)＝ sin x(x≠0) 的周期為 T(T≠0) ， ∴ － T≠0. 設(shè) x0＝－ T是這個(gè)定義域內(nèi)一點(diǎn) ， 但 x0＋ T＝ 0不在定義域內(nèi) ， ∴ f(x0＋ T)＝ f(x0)對(duì)于定義域有的點(diǎn)不成立 ， ∴ f(x)＝ sin x(x≠0) 不是周期函數(shù)． (2)對(duì)周期函數(shù)與周期定義中的 “ 當(dāng) x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí) ” ， 要特別注意 “ 每一個(gè)值 ” 的要求 ， 如果只是對(duì)某些 x有 f(x＋ T)＝ f(x)， 那么 T就不是 f(x)的周期．例如 ， 分別取 x1＝ 2kπ ＋ π4 (k∈Z) ， x2＝ π6 ， 則由 sin??? ???2kπ ＋ π4 ＋ π2 ＝ sin??? ???2kπ ＋ π4 (k∈Z) ， sin??? ???π6 ＋ π2 ≠ sin π6 ， 可知對(duì)于 π2 而言 ， 雖然正弦函數(shù)對(duì) 2kπ ＋ π4 (k∈Z) 都有sin??? ???2kπ ＋ π4＋ π2 ＝ sin??? ???2kπ ＋ π4 (k∈Z) ．但由于它不是對(duì) “ 每一個(gè) ” 自變量都有sin??? ???x＋ π2 ＝ sin x， 所以 π2 不是正弦函數(shù)的周期． (3)周期函數(shù)的周期不唯一．例如 2kπ (k∈Z ， k≠ 0)都是正弦函數(shù)的周期．這一點(diǎn)可以從周期函數(shù)的圖象上得到反映 ， 也可以從代數(shù)上證明：設(shè) T 是函數(shù) f(x)的周期 ， 那么對(duì)于任意的 k∈Z ， k≠ 0， kT也是函數(shù) f(x)的周期． 函數(shù) y＝ Af(ωx ＋ φ )的周期 函數(shù) y＝ Asin(ωx ＋ φ )及函數(shù) y＝ Acos(ωx ＋ φ )(其中
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