淺談導(dǎo)數(shù)恒成立中的整數(shù)問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-04-21 05:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 綜上，使成立的. ∴符合題意的最大整數(shù)的值為2.（方法二）分離參數(shù)法對(duì)于恒成立問(wèn)題，我們通常有一種解決方式，即去解決分離參數(shù)法，這樣做的目的是盡可能地減少討論.（Ⅱ）欲使，只需，即. 設(shè)，設(shè)，當(dāng)，∴上單調(diào)遞增，∵，∴使，且∴當(dāng)時(shí) 當(dāng)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.∴的范圍是， 由前面分析知，∴符合題意的最大整數(shù)的值為2.（方法三）猜想驗(yàn)證法對(duì)于這類問(wèn)題，可先通過(guò)對(duì)取值，縮小的范圍，猜測(cè)的取值，并對(duì)一般情況加以證明.設(shè)，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，且，所以是上的增函數(shù).由條件知，因此猜測(cè)滿足條件最大整數(shù)為2，下面證明對(duì)任意，恒成立.因?yàn)榈葍r(jià)于設(shè) ，當(dāng) 當(dāng)∴當(dāng)即對(duì)任意的都有，即對(duì)任意，恒成立， ∴符合題意的最大整數(shù)的值為2.二、函數(shù)的表達(dá)式與整數(shù)相關(guān)（2008山東卷第21題）已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時(shí)，有f(x)≤x－1.第一問(wèn)屬于常規(guī)問(wèn)題，略解如下：（Ⅰ）由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞1}，當(dāng)n=2時(shí)， 所以（i）當(dāng)a＞0時(shí)，由f(x)=0得＞1，＜1，此時(shí)=.當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，＜0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x1+∞）時(shí)，＞0, f(x)單調(diào)遞增.(ii)當(dāng)a≤0時(shí)，＜0恒成立，所以f(x)無(wú)極值.綜上所述，n=2時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在處取得極小值，極小值為當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值.（Ⅱ）(方法一) 分類討論法當(dāng)a=1時(shí)， (i)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令則）=1+＞0（x≥2）.∴當(dāng)x∈[2,+∞]時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，又g(
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