函數(shù)、不等式恒成立問(wèn)題經(jīng)典總結(jié)(編輯修改稿)
2025-04-20 12:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：是增函數(shù)對(duì)于任意恒成立對(duì)于任意恒成立對(duì)于任意恒成立，令，所以原問(wèn)題，又即 易求得。 已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x54sinx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。方法一）分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，本題必須由x的范圍（xR）來(lái)求另一變量a的范圍，故可考慮將a及x分離構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)定義域上的最值求解a的取值范圍。解：原不等式當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x54sinx恒成立設(shè)則∴方法二）題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次不等式，從而可利用二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：不等式a+cos2x54sinx可化為a+12sin2x54sinx,令sinx=t,則t[1,1],不等式a+cos2x54sinx恒成立2t24t+4a0,t[1,1]恒成立。設(shè)f(t)= 2t24t+4a，顯然f(x)在[1，1]內(nèi)單調(diào)遞減，f(t)min=f(1)=2a,2a0a2 設(shè)f(x)=x22ax+2,當(dāng)x[1,+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求
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