構(gòu)造法證明函數(shù)不等式(編輯修改稿)
2025-10-27 20:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 使其成為各種考試命題的熱點(diǎn)問題，函數(shù)法證明不等式就是其常見題型．即有些不等式可以和函數(shù)建立直接聯(lián)系，通過構(gòu)造函數(shù)式，利用函數(shù)的有關(guān)特性，完成不等式的證明．一、構(gòu)造一元一次函數(shù)證明不等式例1設(shè)0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，求證：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．證明：構(gòu)造一次函數(shù)f(x)= x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)，整理，得f(x)=(1－y－z)x＋(y＋z－yz)其中0＜x＜1，∵0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，∴－1＜1－y－z＜1．⑴當(dāng)0＜1－y－z＜1時(shí)，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，于是f(x)＜f(1)=1－yz＜1；⑵當(dāng)－1＜1－y－z＜0時(shí)，f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，于是f(x)＜f(0)= y＋z－yz = 1－(1－y)(1－z)＜1；⑶當(dāng)1－y－z = 0，即y＋z = 1時(shí)，f(x)= y＋z－yz = 1－yz＜1．綜上，原不等式成立．例2已知 | a |＜1，| b |＜1，| c |＜1，求證：abc＋2＞a＋b＋c．證明：構(gòu)造一次函數(shù)f(x)=(bc－1)x＋2－b－c，這里，| b |＜1，| c |＜1，| x |＜1，則bc ＜1． ∵f(1)= 1－bc＋2－b－c =(1－bc)＋(1－b)＋(1－c)＞0，f(1)= bc－1＋2－b－c =(1－b)(1－c)＞0，∵－1＜x＜1，∴一次函數(shù)f(x)=(bc－1)x＋2－b－c的圖象在x軸上方，這就是說，當(dāng)| a |＜1，| b |＜1，| c |＜1時(shí)，有(bc－1)a＋2－b－c＞0，即abc＋2＞a＋b＋c．二、構(gòu)造一元二次函數(shù)證明不等式例3若 a、b、c∈R+，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ．證明構(gòu)造函數(shù)f(x)= x2－(b＋c)x＋b2＋c2－bc ．因?yàn)?△=(b＋c)2－4(b2＋c2－bc)=－3(b－c)2≤0，又因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，所以x2－(b＋c)x＋b2＋c2－bc≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立． 以a 替換 x 得：a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc≥0，即 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ ca．例4已知a、b、c、d、e是滿足a＋b＋c＋d＋e= 8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2= 16的實(shí)數(shù)，求證：0≤e≤5．證明：構(gòu)造一元二次函數(shù)f(x)= 4x＋2(a＋b＋c＋d)＋a2＋b2＋c2＋d2=(x＋a)2＋(x＋b)2＋(x＋c)2＋(x＋d)2≥0，又∵二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，∴△= 4(a＋b＋c＋d)2－16(a2＋b2＋c2＋d2)= 4(8－e)2－16(16－e2)≤0，解之得0≤e≤165．故不等式成立．三、構(gòu)造單調(diào)函數(shù)證明不等式 例5已知 a＞0，b＞0，求證 ：證明： 構(gòu)造函數(shù)f(x)=x1+xa1+a＋b1+b＞xa+b1+a+b．，易證f(x)=1+x= 1－1+x當(dāng)x＞0 時(shí)單調(diào)遞增．∵ a＋b＋ab＞a＋b＞0，∴ f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)． 故a1+a＋b1+b=a+b+2ab(1+a)(1+b)＞a+b+ab1+a+b+ab)=f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)=13n213n+1a+b1+a+b．例6對(duì)任意自然數(shù)n 求證：(1＋1)(1＋14)…(1＋13n2)＞3n+1．證明：構(gòu)造函數(shù)f(n)=(1＋1)(1＋13n+1)…(1＋3，由f(n+1)f(n)(1+)33n+1=3n+4=(3n+2)(3n+1)(3n+4)＞1，∵f(n)＞0，∴f(n+1)＞f(n)，即f(n)是自然數(shù)集N上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴(1＋1)(1＋14)…(1＋13n2)＞33n+1．第三篇：巧用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式構(gòu)造函數(shù)法證明不等式一、構(gòu)造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【例1】證明不等式：|a|+|b||a+b|1+|a|+|b|≥1+|a+b|證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x1+x(x≥0)則f(x)=x1+x=111+x在[0，+165。)上單調(diào)遞增∵f(|a| + |b|)=|a|+|b|1+|a|+|b|f(|a + b|)=|a+b|1+|a+b|且|a| + |b|≥|a + b|∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|)即所證不等式正確。二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式【例2】證明不等式：x12x＜x2（x≠0）證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x12xx2(x185。0)∵f(x)=xxx2x12x+2=2x1+x2=x12x[1(12x)]+x2=x12xx2=f(x)∴f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。當(dāng)x＞0時(shí)，12x＜0，f(x)＜0；當(dāng)x＜0時(shí)，x＞0,故f(x)=f(x)＜0 ∴x12xx2＜0，即x12x＜x2三、構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：a + b + c＜abc + 2。證明：構(gòu)造函數(shù)f(c)=(1ab)c + a + b2∵|a|＜1，|b|＜1∴1＜ab＜1，1ab＞0∴f(c)的（1，1）上是增函數(shù)∵f(1)=1ab + a + b2=a + b–ab1=a(1b)=(1c)2＞4a(a + b + c)。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax2 +(b + c)x +(a + b + c)(a≠0)則f(0)=a + b + c，f(1)=2(a + c)由(a + c)(a + b + c)＜0知：f(0)?f(1)＜0 ∴f(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?！唷鳎?，即(bc)2＞4a(a + b + c)【例5】已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a + b + c = 5，a2 + b2 + c2= 9，求證a，b，c的值都不小于1，又都 不大于213。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x2+ 2(a + b)x + a2 + b2=(x + a)2 +(x + b)2 ≥0∵2＞0∴△=[2(a+b)]242(a2 + b2)≤0
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