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正文內(nèi)容

二次不等式恒成立問(wèn)題(編輯修改稿)

2025-04-20 06:23 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 于等于零的問(wèn)題,可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,要求對(duì)應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.Oxyx1變式:設(shè),當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:設(shè),則當(dāng)時(shí),恒成立當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),如圖,恒成立的充要條件為:解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。策略四:分離參數(shù)法若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值,進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值,但它思路更清晰,操作性更強(qiáng)。一般地有:1)恒成立2)恒成立,若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:若對(duì)任意,恒成立,即對(duì),恒成立,考慮到不等式的分母,只需在時(shí)恒成立而得在時(shí)恒成立,只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為,所以。 變式:已知函數(shù)時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解: 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立。令,則由可知在上為減函數(shù),故∴即的取值范圍為。注:分離參數(shù)后,方向明確,思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。策略五:確定主元在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中,學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元(未知數(shù)),而把另一個(gè)變量看成參數(shù),在有些問(wèn)題中這樣的解題過(guò)程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元,把要求取值范圍的變量看作參數(shù),則可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。,求x的范圍。解析:我們可以用改變主元的辦法,將m視為主變?cè)磳⒃坏仁交癁椋?,;令,則時(shí),恒成立,所以只需即,所以x的范圍是總結(jié):利用了一次函數(shù)有:變式:對(duì)任意,不等式恒成立,求的取值范圍。分析:題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式,但若把看成主元,則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上
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