二次不等式恒成立問題(編輯修改稿)
2025-04-20 06:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點分布情況,要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.Oxyx1變式：設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數(shù)的取值范圍為。策略四：分離參數(shù)法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。 變式：已知函數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故∴即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。策略五：確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元（未知數(shù)），而把另一個變量看成參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是總結(jié)：利用了一次函數(shù)有：變式：對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上
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