2示范教案(321一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法)(編輯修改稿)
2025-10-20 19:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 次上網(wǎng)在多長(zhǎng)時(shí)間以?xún)?nèi)能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費(fèi)用少？ 假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，那么B公司收取的費(fèi)用為多少？怎樣得來(lái)？ 生 結(jié)果是x(35x)20x(x1)x(35x)+()=.220x(35x)20元，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，項(xiàng)數(shù)為x的和，即師 如果能夠保證選擇A公司比選擇B公司所需費(fèi)用少，則如何列式？ 生 由題設(shè)條件應(yīng)列式為推進(jìn)新課師 因此這個(gè)問(wèn)題實(shí)際就是解不等式：x5x＜，它的解法是我們下面要學(xué)習(xí)討論的重點(diǎn).什么叫做一元二次不等式？含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x23x2＞0，3x26x＜2，2x2+3＜0等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？師 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關(guān)系呢？ 思考：對(duì)一次函數(shù)y=2x7，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？ 它的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：2＞(0＜x＜17)，整理化簡(jiǎn)得不等式x5x＜0.2x 2 3 y321 由對(duì)應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知： 當(dāng)x=，y=0，即2x7=0； 當(dāng)x＜，y＜0，即2x7＜0； 當(dāng)x＞，y＞0，即2x7＞0. 0 1 2 5 3 師 一般地，設(shè)直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)是(x0，0),則有如下結(jié)果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.②當(dāng)a＜0時(shí)，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.師 在解決上述問(wèn)題的基礎(chǔ)上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、？ 生 函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方) y=ax+b(a≠0) 的圖象一元一次方程ax+b=0的解集 一元一次不等式ax+b＞0的解集 一元一次不等式ax+b＜0的解集a＞0 a＜0{x|x={x|x＞{x|x＜bababa{x|x={x|x＜{x|x＞bababa} } }} } } 師 在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、（集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖象上）我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集，類(lèi)似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)討論找到其求解方法呢？在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，我們?cè)鉀Q過(guò)這樣的問(wèn)題：對(duì)二次函數(shù)y=x25x，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？當(dāng)時(shí)我們又是怎樣解決的呢？ 生 當(dāng)時(shí)我們是通過(guò)作出函數(shù)的圖象，找出圖象與x軸的交點(diǎn)，通過(guò)觀察來(lái)解決的. 二次函數(shù)y=x25x的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下： x y1 60 04664 0 6由對(duì)應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知： 當(dāng)x=0或x=5時(shí)，y=0，即x25x=0；2當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y＜0，即x5x＜0； 當(dāng)x＜0或x＞5時(shí)，y＞0，即x25x＞0.這就是說(shuō)，若拋物線y=x5x與x軸的交點(diǎn)是(0，0)與(5，0), 則一元二次方程x25x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x25x＜0的解集是{x|0＜x＜5}。一元二次不等式x25x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.［教師精講］由一元二次不等式的一般形式知，任何一個(gè)一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關(guān)，即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集.如何討論一元二次不等式的解集呢？我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，設(shè)其判別式為Δ=b24ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分為三種情況，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況（如下圖），因此，對(duì)相應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論.2（1）若Δ＞0，此時(shí)拋物線y=ax 2+bx+c(a＞0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)〔圖（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2（x1＜x2）,則不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解2集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.（2）若Δ=0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)〔圖（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2={x|x≠b2ab2a2,則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.(3)若Δ＜0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)〔圖(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)無(wú)實(shí)根，則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）=b24ac 二次函數(shù)y=ax+bx+c(a＞0)的圖象ax2+bx+c=0的根=2Δ＞0 Δ=0 Δ＜0x1=x2=b2ab2a198。b177。2a186。Dax2+bx+c＞0的解集2{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠}R198。 198。 ax+bx+c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2} 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)（即a＜0）的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.［知識(shí)拓展］【例1】 解不等式2x 25x3＞0. 生 解：因?yàn)棣ぃ?，2x25x3=0的解是x1=＞3}.【例2】 解不等式3x 2+15x＞12.生 解：整理化簡(jiǎn)得3x 215x+12＜＞0，方程3x215x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.【例3】
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