恒成立與存在性問題的解題策略分析(編輯修改稿)
2025-04-21 02:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 故實(shí)數(shù)注：本題中若將改為①，同樣由圖象可得a3。②,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得a3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.例8. 設(shè)常數(shù)a∈R,函數(shù)f(x)=3|x|+|2xa|,g(x)==f(x)與y=g(x)的圖像有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為 。解：1）a=0x=a/2=0時(shí)，f(x)=3x+(2x+a)=5x+aa/2=x=0時(shí)，f(x)=3x+(2xa)=xax=0時(shí)，f(x)=3x+(2xa)=5xa，最小值為a=2則與g(x)有交點(diǎn)，即：2=a=0。2）a0x=0時(shí)，f(x)=3x+(2x+a)=5x+a0=x=a/2時(shí)，f(x)=3x+(2x+a)=x+ax=a/2時(shí)，f(x)=3x+(2xa)=5xa最小值a=2時(shí)與g(x)有交點(diǎn)，即：0a=2綜上所述，2=a=2時(shí)f(x)=3|x|+|2xa|與g(x)=2x有交點(diǎn)。三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)把問題分類、歸類，熟練基本方法。（一）換元引參，顯露問題實(shí)質(zhì) 對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：因?yàn)榈闹惦S著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價(jià)于求解關(guān)于t的不等式組：。 解得，即有，易得。設(shè)點(diǎn)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，若不等式x+y+c0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。（二）分離參數(shù)，化歸為求值域問題 若對(duì)于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價(jià)變形為恒成立。根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值。因?yàn)? 即時(shí)，有最小值為0，故。（三）變更主元，簡化解題過程 若對(duì)于，方程都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍。 解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來確定根x的范圍，但這樣會(huì)遇到很多麻煩，若以m為主元，則， 由原方程知，得 又，即解之得或。當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍。（四）圖象解題，形象直觀 設(shè)，若不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：若設(shè)，則為上半圓。設(shè)，為過原點(diǎn)，a為斜率的直線。在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有時(shí)成立，即a的取值范圍為。當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范圍。解：設(shè)y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對(duì)一切x (1,2),y1y2恒成立，顯然a1,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21, 1a2.已知關(guān)于x的方程lg(x2+4x)lg(2x6a4)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+4x)=lg(2x6a4),從而得x2+4x=2x6a40,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x6a4，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解：令y1=x2+4x=（x+2）24,y2=2x6a4, y1的圖象為一個(gè)定拋物線 y2的圖象是k=2，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上方有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2）當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過點(diǎn)（4，0），此時(shí)縱截距為86a4=0,a=。當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為6a4=0，a=∴a的范圍為（五）合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì) 不論k為何實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，求a的范圍。分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個(gè)參數(shù)，用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。若考慮到直線過定點(diǎn)A（0，1），而曲線為圓,圓心C（a，0），要使直線恒與圓有交點(diǎn)，那么定點(diǎn)A(0,1)必在圓上或圓內(nèi)。解：，C（a，0），當(dāng)時(shí)，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點(diǎn)A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點(diǎn)A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來，此時(shí)應(yīng)對(duì)進(jìn)行討論。①當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要， 解得。②當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要，解得。③當(dāng)時(shí)，要使恒成立，只有。 綜上①②③得。解法2：可設(shè)，用一次函數(shù)知識(shí)來解較為簡單。我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元?
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