恒成立與存在性問題的解題策略分析-在線瀏覽
2025-05-12 02:09本頁面
【正文】 ) 略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D（三）分清基本類型，運用相關(guān)基本知識，把握基本的解題策略一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識求解,十分簡捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價于 同理，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)0， 則有 nmoxynmoxy例2．對于滿足|a|2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[2，2]內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x1)a+x22x+10在|a|2時恒成立,設(shè)f(a)= (x1)a+x22x+1,則f(a)在[2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x1或x3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復(fù)習(xí)的重點，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運用。類型1：設(shè)在R上恒成立，（1） 上恒成立；（2）上恒成立。f(x)0219。a0且D0或b/2aa且f(a)0類型4：設(shè)在區(qū)間 [a，+∞)上恒成立。a0,D0或b/2aa且f(a)0f(x)0219。運用不等式的相關(guān)知識不難推出如下結(jié)論：若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)都有f(x)g(a)恒成立，則g(a)f(x)min。直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。例7. 的取值范圍.分析：設(shè)y=|x+1||x2|,即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1||x2|的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得a的取值范圍.解：令在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使只需.故實數(shù)注：本題中若將改為①，同樣由圖象可得a3。解：1）a=0x=a/2=0時，f(x)=3x+(2x+a)=5x+aa/2=x=0時，f(x)=3x+(2xa)=xax=0時，f(x)=3x+(2xa)=5xa，最小值為a=2則與g(x)有交點，即：2=a=0。三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會把問題分類、歸類，熟練基本方法。 解：因為的值隨著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實質(zhì)是“當(dāng)t為何值時，不等式恒成立”。 解得，即有，易得。（二）分離參數(shù)，化歸為求值域問題 若對于任意角總有成立，求m的范圍。根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值。（三）變更主元，簡化解題過程 若對于，方程都有實根，求實根的范圍。當(dāng)時，若不等式恒成立，求的取值范圍。 解：若設(shè)，則為上半圓。在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時，只有時成立，即a的取值范圍為。解：設(shè)y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對一切x (1,2),y1y2恒成立，顯然a1,并且必須也只需當(dāng)x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+4x)=lg(2x6a4),從而得x2+4x=2x6a40,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x6a4，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。（包括l1但不包括l2）當(dāng)直線為l1時，直線過點（4，0），此時縱截距為86a4=0,a=。分析：因為題設(shè)中有兩個參數(shù)，用解析幾何中有交點的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。解：，C（a，0），當(dāng)時，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。解：使用的條件，必須將m分離出來，此時應(yīng)對進(jìn)行討論。②當(dāng)時，要使不等式恒成立，只要，解得。 綜上①②③得。我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。解：當(dāng)時，當(dāng)，即時等號成立。解：本題即為對于，有恒成立。構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域。于
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