恒成立問題初探word版(編輯修改稿)
2025-02-05 19:58 本頁面
【文章內容簡介】 離變量： 012 ??x ， 112 ???xxm在 22 ??? m 恒成立； 或 012 ??x ， 112 ???xxm在 22 ??? m 恒成立 . 即 11 ??? xx 或 時， ??? 11xm 例 4：（ 1）求使不等式 ],0[,c o ss in ???? xxxa 恒成立的實數(shù) a的范圍。 解析：由于函 ]43,4[4),4s i n(2c oss i n ???? ??????? xxxxa ，顯然函數(shù)有最大值 2 ，2??a 。 如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題： （ 2）求使不等式 )2,0(4,c oss in ?? ???? xxxa 恒成立的實數(shù) a的范圍。 解析：我們首先要認真對比上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得xxy cossin ?? 的最大值取不到 2 ，即 a取 2 也滿足條件，所以 2?a 。 所以，我們對這 類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因為這直接關系到最后所求參數(shù) a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數(shù)單獨放在一側，所以也叫分離參數(shù)法。 四：數(shù)形結合法 對一些不能把數(shù)放在一側的，可以利用對應函數(shù)的圖象法求解。 例 5：已知 恒成立有時當 21)(,)1,1(,)(,1,0 2 ??????? xfxaxxfaa x，求實數(shù) a的取值范圍。 解析：由 xx axaxxf ????? 2121)( 22 ，得，在同一直角坐標系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函數(shù)分別在 x=1和 x=1處相交，則由 122 21)1(211 ?????? aa 及 得到 a分別等于 2和 ，并作 出函數(shù)xx yy )21(2 ?? 及 的圖象，所以，要想使函數(shù) xax ??212 在區(qū)間 )1,1(??x 中恒成立，只須 xy 2? 在區(qū)間 )1,1(??x 對應的圖象在 212 ??xy 在區(qū)間 )1,1(??x 對應圖象的上面即可。當 2,1 ?? aa 只有時才能保證，而2110 ??? aa 時，只有才可以，所以 ]2,1()1,21[ ??a 。 例 6：若當 P(m,n)為圓 1)1( 22 ??? yx 上任意一點時，不等式 0??? m 恒成立，則 c的取值范圍是（ ） A、 1221 ????? c B、 1212 ???? c C、 12???c D、 12??c 解析：由 0??? m ，可以看作是點 P(m,n)在直線 0??? cyx 的右側，而點 P(m,n)在圓1)1( 22 ??? yx 上 ， 實 質 相 當 于 是 1)1( 22 ??? yx 在 直 線 的 右 側 并 與 它 相 離 或 相 切 。12111|10|01022???????????????? ccc ，故選 D。 同步練習 設 1 2 4( ) lg ,3xxafx ??? 其中 aR? ，如果 ( .1)x??? 時， ()fx恒有意義，求 a 的取值范圍。 分析：如果 ( .1)x??? 時， ()fx恒有意義，則可轉化為 1 2 4 0xxa? ? ? 恒成立，即參數(shù)分離后 212 ( 2 2 )4 x xxxa ???? ? ? ? ?， ( .1)x??? 恒成立，接下來可轉化為二次函數(shù)區(qū)間 最值求解。 解：如果 ( .1)x??? 時， ()fx恒有意義 1 2 4 0xxa? ? ? ?，對 ( ,1)x??? 恒成立 . 212 ( 2 2 )4 x xxxa ???? ? ? ? ? ?( .1)
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