函數(shù)恒成立問(wèn)題——參變分離法(編輯修改稿)
2025-04-20 12:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3：若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是 ．思路：在本題中關(guān)于的項(xiàng)僅有一項(xiàng)，便于進(jìn)行參變分離，但由于,則分離參數(shù)時(shí)要對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論，并且利用的符號(hào)的討論也可把絕對(duì)值去掉，進(jìn)而得到的范圍，當(dāng)時(shí)，而 ；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，而 綜上所述：答案：注意：（1）不等式含有絕對(duì)值時(shí)，可對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部的符號(hào)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而去掉絕對(duì)值，在本題中對(duì)進(jìn)行符號(hào)討論一舉兩得：一是去掉了絕對(duì)值，二是參變分離時(shí)確定不等號(hào)的是否變號(hào)。（2）在求解析式最值時(shí)根據(jù)式子特點(diǎn)巧妙使用均值不等式，替代了原有的構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)出最值的方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。（3）注意最后確定的范圍時(shí)是三部分取交集，因?yàn)槭菍?duì)的取值范圍進(jìn)行的討論，而無(wú)論取何值，的值都要保證不等式恒成立，即要保證三段范圍下不等式同時(shí)成立，所以取交集。例4：設(shè)函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________思路：先將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得：，即，便于進(jìn)行分離，考慮不等式兩邊同時(shí)除以，可得：，最小值，即解得：答案：注意：本題不等式看似復(fù)雜，化簡(jiǎn)后參變分離還是比較容易的，從另一個(gè)角度看本題所用不等式為二次不等式，那么能否用二次函數(shù)圖像來(lái)解決呢？并不是一個(gè)很好的辦法，因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為關(guān)于的表達(dá)式且過(guò)于復(fù)雜，而對(duì)稱軸的形式也不利于下一步的計(jì)算。所以在解題時(shí)要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)，能夠預(yù)想到某種方法所帶來(lái)的運(yùn)算量，進(jìn)而做出選擇例5：若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．思路：，令，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部進(jìn)行符號(hào)討論，即，而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可求出 答案：例6：設(shè)正數(shù)，對(duì)任意，不等式恒成立，則正數(shù)
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