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正文內(nèi)容

含參不等式恒成立問題(編輯修改稿)

2025-04-20 23:42 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”,這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處,在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道,函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系:1)函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方;2)函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x24yO4例7.設(shè) , ,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 分析:在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如圖所示,的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立,則圓心到直線的距離滿足 解得(舍去)由上可見,含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多,方法也多種多樣,但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化,抓住了這點(diǎn),才能以“不變應(yīng)萬變”,當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。含參不等式恒成立問題中,求參數(shù)取值范圍一般方法恒成立問題是數(shù)學(xué)中常見問題,也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。大多是在不等式中,已知一個(gè)變量的取值范圍,求另一個(gè)變量的取值范圍的形式出現(xiàn)。下面介紹幾種常用的處理方法。一、 分離參數(shù)在給出的不等式中,如果能通過恒等變形分離出參數(shù),即:若恒成立,只須求出,則;若恒成立,只須求出,則,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例已知函數(shù),若對(duì)任意恒有,試確定的取值范圍。解:根據(jù)題意得:在上恒成立,即:在上恒成立,設(shè),則當(dāng)時(shí), 所以 在給出的不等式中,如果通過恒等變形不能直接解出參數(shù),則可將兩變量分別置于不等式的兩邊,即:若恒成立,只須求出,則,然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍;若恒成立,只須求出,則,然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍,問題還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例已知時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍。解:令, 所以原不等式可化為:,要使上式在上恒成立,只須求出在上的最小值即可。 二、 分類討論在給出的不等式中,如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊,則可利用分類討論的思想來解決。例若時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍。解:設(shè),則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí),的最小值非負(fù)。(1) 當(dāng)即:時(shí), 又所以不存在;(2) 當(dāng)即:時(shí), 又 (3) 當(dāng) 即:時(shí), 又綜上所得:三、 確定主元在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中,學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元(未知數(shù)),而把另一個(gè)變量看成參數(shù),在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元,把要求取值范圍的變量看作參數(shù),則可簡化解題過程。例若不等式對(duì)滿足的所有都成立,求的取值范圍。解:設(shè),對(duì)滿足的,恒成立, 解得:四、 利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中,若能解出已知取值范圍的變量,就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解,即:,則且,不等式的解即為實(shí)數(shù)的取值范圍。例當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:(1) 當(dāng)時(shí),則問題轉(zhuǎn)化為 (2) 當(dāng)時(shí),則問題轉(zhuǎn)化為綜上所得:或五、 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個(gè)函數(shù),且正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,然后通過觀察兩圖象(特別是交點(diǎn)時(shí))的位置關(guān)系,列出關(guān)于參數(shù)的不等式。例若不等式在內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:由題意知:在內(nèi)恒成立,在同一坐標(biāo)系內(nèi),分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象,當(dāng)時(shí),若函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方,
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