含參不等式練習題及解法(編輯修改稿)
2025-04-20 23:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 恒成立 5(3x22x+3)x2+2mx+15(3x22x+3) 對一切x R恒成立 ∴所求m的取值范圍為（11，9） 點評：在原不等式等價變形過程中，化整為零，使各個部分都歸結為二次型不等式恒成立的問題，這也是在應用解決數(shù)學問題通用的化整為零，靈活機動的戰(zhàn)略戰(zhàn)術. ?。骸 ?1)|2x4|5x?！ ?2) ?！ ?3)2x2+mx10 若同時滿足不等式（1）（2）的x也滿足不等式（3），試求m的取值范圍?！ 》治觯罕纠臈l件與結論與例2頗為相似，于是考慮由例2的解題思路切入并延伸。 解：將（1）（2）聯(lián)立，得： 0≤x1或2x3 設不等式（1）的解集為A，（2）的解集為B （3）的解集為C 則有A∩B=[0，1）∪（2，3） 由題設知 ，即[0，1） ∪（2，3） C ∴再由題設知，當x [0，1） ∪（2，3）時，不等式（3）恒成立 當x [0,1） ∪[2,3]，時，不等式2x2+mx10恒成立 注意到當x=0時，2x2+mx10顯然成立， ∴當x [0,1） ∪[2,3]，時，不等式2x2+mx10恒成立 設 則由1）得mg(x)恒成立 mg(x)的最小值或m≤g(x)的下確界 注意到g(x)在（0，1）∪(2,3)內(nèi)為減函數(shù) ∴g（x）g(3) 又 g(x)的下確界為 ∴由（2）（3）得 ，即所求m的取值范圍為 點評：題面與第一步的轉化都與前面的例2“有著驚人的相似之處”，但是第二步的轉化卻有著明顯的差異：前者是轉化為已知二次函數(shù)f(x)0的解區(qū)間 （1，4）的充要條件，后者是轉化為含參不等式的恒成立問題，大家在解題與總結時要注意比較品悟，這些“形似”但“神不似”的問題 三、借重于“變量轉換” 當我們面對生疏復雜的無理函數(shù)或復合函數(shù)問題時，循著哲學中“量變促質(zhì)變”的原理，可借重“變量替換”這一量的變換，促使有關問題向其對立的方向轉化，轉化為我們所熟悉的有理函數(shù)或比較簡單的問題，以“量變”促發(fā)“質(zhì)變”，乃是我們解決比較復雜問題的基本策略之一. 的解集為（4，b），求a,b的值 分析：此類問題在一元二次不等式板塊中經(jīng)常出現(xiàn)?！∽⒁獾轿覀儗σ辉尾坏仁降恼J知： ax2+bx+c0的解集為（x1, x2） a0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實根?！ x2+bx+c0的解集為（∞, x1）∪（x2,+∞） a0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實根?！ ∮谑怯纱瞬坏仁剿臄?shù) 和ax想到：借助換元，將所給問題，轉化為一元二次不等式問題?！ 〗猓涸Ot= ，則t≥0 且原不等式 ∴由題設知關于t的不等式 (t≥0)的解集為（2， ） ∴一元二次方程 的兩根為2， ∴由韋達定理得 由此解得 ∴ 點評：這里“化生為熟”的手段是“換元”，變量轉換，是使問題完成從“無理”向“有理”的質(zhì)的轉變的重要手段. 例2．定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，當x [0， ]時，f（sin2xmsinx+m）+f(2)0恒成立，求m的取值范圍. 分析：注意到這里含有抽象的函數(shù)符號“f”，故首先想到通過“反用”單調(diào)性的定義脫去“f”，將所給問題轉化為普通的不等式恒成立的問題；又注意到“f ”之下是關于sinx的二次三項式，為使有關不等式以及解題過程雙雙簡明，考慮第二次轉化時運用變量轉換. 解：由f(x)為奇函數(shù)得f(2)=f(2) ∴f(sin2xmsinx+m)f(2) 當x [0， ]時恒成立 f(sin2xmsinx+m)f(2) 當x [0， ]時恒成立 ① 令sinx=t, 則由x [0， ]得0≤t≤1 ∴由①得f(t2mt+m)f(2) 當t [0，1]時恒成立 ② 又∵f(x)在R上為減函數(shù)， ∴由②得 t2mt+m2 當t [0，1]時恒成立 m（1t）2t2 當t [0，1]時恒成立 ③ 當t=1時，對任意m R都有m(1t)2t2成立 ④ 當t≠1時，令 g(x)= (0≤t1) 則由③得mg(t) （0≤t1）恒成立 mg(t)(0≤t1)的最小值 ⑤ ∵g(t)= = 易知g(t)在[0,1）內(nèi)遞增， ∴g(t)有最小值g(0)=2 ∴由⑤得 m2 ⑥ 于是由④，⑥得所求m的取值范圍為（∞，2） 點評：回顧上述解題過程，在脫去符號“f“之后，首先借助換元，促使關于sinx的二次不等式恒成立的問題，轉化為關于t的二次不等式恒成立的問題，完成化繁為簡的第一次轉化；在此基礎上進而由對③式的“主元轉換”切入，使問題進一步轉化為g(x)= （0≤t1）的值域問題，從而完成了化生為熟的第二次轉化. 解決比較復雜的函數(shù)問題，問題轉化往往不能一步到位，此例的解法，為我們提供了一個兩次轉化，自然順暢的解題示范，請大家細細品
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