含參不等式練習(xí)題及解法(編輯修改稿)
2025-04-20 23:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 恒成立 5(3x22x+3)x2+2mx+15(3x22x+3) 對(duì)一切x R恒成立 ∴所求m的取值范圍為（11，9） 點(diǎn)評(píng)：在原不等式等價(jià)變形過(guò)程中，化整為零，使各個(gè)部分都?xì)w結(jié)為二次型不等式恒成立的問(wèn)題，這也是在應(yīng)用解決數(shù)學(xué)問(wèn)題通用的化整為零，靈活機(jī)動(dòng)的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù). ?。骸 ?1)|2x4|5x?！ ?2) ?！ ?3)2x2+mx10 若同時(shí)滿足不等式（1）（2）的x也滿足不等式（3），試求m的取值范圍。 分析：本例的條件與結(jié)論與例2頗為相似，于是考慮由例2的解題思路切入并延伸?！ 〗猓簩ⅲ?）（2）聯(lián)立，得： 0≤x1或2x3 設(shè)不等式（1）的解集為A，（2）的解集為B （3）的解集為C 則有A∩B=[0，1）∪（2，3） 由題設(shè)知 ，即[0，1） ∪（2，3） C ∴再由題設(shè)知，當(dāng)x [0，1） ∪（2，3）時(shí)，不等式（3）恒成立 當(dāng)x [0,1） ∪[2,3]，時(shí)，不等式2x2+mx10恒成立 注意到當(dāng)x=0時(shí)，2x2+mx10顯然成立， ∴當(dāng)x [0,1） ∪[2,3]，時(shí)，不等式2x2+mx10恒成立 設(shè) 則由1）得mg(x)恒成立 mg(x)的最小值或m≤g(x)的下確界 注意到g(x)在（0，1）∪(2,3)內(nèi)為減函數(shù) ∴g（x）g(3) 又 g(x)的下確界為 ∴由（2）（3）得 ，即所求m的取值范圍為 點(diǎn)評(píng)：題面與第一步的轉(zhuǎn)化都與前面的例2“有著驚人的相似之處”，但是第二步的轉(zhuǎn)化卻有著明顯的差異：前者是轉(zhuǎn)化為已知二次函數(shù)f(x)0的解區(qū)間 （1，4）的充要條件，后者是轉(zhuǎn)化為含參不等式的恒成立問(wèn)題，大家在解題與總結(jié)時(shí)要注意比較品悟，這些“形似”但“神不似”的問(wèn)題 三、借重于“變量轉(zhuǎn)換” 當(dāng)我們面對(duì)生疏復(fù)雜的無(wú)理函數(shù)或復(fù)合函數(shù)問(wèn)題時(shí)，循著哲學(xué)中“量變促質(zhì)變”的原理，可借重“變量替換”這一量的變換，促使有關(guān)問(wèn)題向其對(duì)立的方向轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的有理函數(shù)或比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，以“量變”促發(fā)“質(zhì)變”，乃是我們解決比較復(fù)雜問(wèn)題的基本策略之一. 的解集為（4，b），求a,b的值 分析：此類問(wèn)題在一元二次不等式板塊中經(jīng)常出現(xiàn)?！∽⒁獾轿覀儗?duì)一元二次不等式的認(rèn)知： ax2+bx+c0的解集為（x1, x2） a0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根?！ x2+bx+c0的解集為（∞, x1）∪（x2,+∞） a0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根?！ ∮谑怯纱瞬坏仁剿臄?shù) 和ax想到：借助換元，將所給問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式問(wèn)題?！ 〗猓涸O(shè)t= ，則t≥0 且原不等式 ∴由題設(shè)知關(guān)于t的不等式 (t≥0)的解集為（2， ） ∴一元二次方程 的兩根為2， ∴由韋達(dá)定理得 由此解得 ∴ 點(diǎn)評(píng)：這里“化生為熟”的手段是“換元”，變量轉(zhuǎn)換，是使問(wèn)題完成從“無(wú)理”向“有理”的質(zhì)的轉(zhuǎn)變的重要手段. 例2．定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，當(dāng)x [0， ]時(shí)，f（sin2xmsinx+m）+f(2)0恒成立，求m的取值范圍. 分析：注意到這里含有抽象的函數(shù)符號(hào)“f”，故首先想到通過(guò)“反用”單調(diào)性的定義脫去“f”，將所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通的不等式恒成立的問(wèn)題；又注意到“f ”之下是關(guān)于sinx的二次三項(xiàng)式，為使有關(guān)不等式以及解題過(guò)程雙雙簡(jiǎn)明，考慮第二次轉(zhuǎn)化時(shí)運(yùn)用變量轉(zhuǎn)換. 解：由f(x)為奇函數(shù)得f(2)=f(2) ∴f(sin2xmsinx+m)f(2) 當(dāng)x [0， ]時(shí)恒成立 f(sin2xmsinx+m)f(2) 當(dāng)x [0， ]時(shí)恒成立 ① 令sinx=t, 則由x [0， ]得0≤t≤1 ∴由①得f(t2mt+m)f(2) 當(dāng)t [0，1]時(shí)恒成立 ② 又∵f(x)在R上為減函數(shù)， ∴由②得 t2mt+m2 當(dāng)t [0，1]時(shí)恒成立 m（1t）2t2 當(dāng)t [0，1]時(shí)恒成立 ③ 當(dāng)t=1時(shí)，對(duì)任意m R都有m(1t)2t2成立 ④ 當(dāng)t≠1時(shí)，令 g(x)= (0≤t1) 則由③得mg(t) （0≤t1）恒成立 mg(t)(0≤t1)的最小值 ⑤ ∵g(t)= = 易知g(t)在[0,1）內(nèi)遞增， ∴g(t)有最小值g(0)=2 ∴由⑤得 m2 ⑥ 于是由④，⑥得所求m的取值范圍為（∞，2） 點(diǎn)評(píng)：回顧上述解題過(guò)程，在脫去符號(hào)“f“之后，首先借助換元，促使關(guān)于sinx的二次不等式恒成立的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次不等式恒成立的問(wèn)題，完成化繁為簡(jiǎn)的第一次轉(zhuǎn)化；在此基礎(chǔ)上進(jìn)而由對(duì)③式的“主元轉(zhuǎn)換”切入，使問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為g(x)= （0≤t1）的值域問(wèn)題，從而完成了化生為熟的第二次轉(zhuǎn)化. 解決比較復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題轉(zhuǎn)化往往不能一步到位，此例的解法，為我們提供了一個(gè)兩次轉(zhuǎn)化，自然順暢的解題示范，請(qǐng)大家細(xì)細(xì)品
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