高數(shù)定積分ppt課件(編輯修改稿)
2025-02-16 00:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x?????計(jì)算積分得： 4c os )s i n1(2202202???????????xd xdxxV x（ 1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖 , y取 為積分變量 , 則 y [ 0, 1 ].y ?(二 ) 求繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 y（ 2）求微元：對 [ 0, 1 ],y??[ , ] [ 0, 1 ] ,y y dy??旋轉(zhuǎn)體的體積元素 ydV是 對應(yīng)的矩形繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積 , 即 [ , ]y y dy? y22( ar c sin ) .ydV x dy y dy????（ 3）求定積分：繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為 y1 20 ( a r c s in )yV y d y?? ?1 20 ( a r c s in )yV y d y?? ?1210 201[ ( a r c s in ) | 2 ( a r c s in ) ]1y y y y d yy?? ? ???1220[ ( a r c s in 1 ) 2 ( a r c s in ) ( 1 ) ]y d y?? ? ??3210[ 2 1 a r c s in 2 ]4 y y y? ?? ? ? ?324? ???計(jì)算積分得 : 通過例 5，同樣可求出繞平行于 軸和平行于 軸的直線 x y旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，見例 6。 對 設(shè)區(qū)間 所對應(yīng)的曲邊梯形為 [ 0 , ],2x ??? ],[ dxxx ? ,S?旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 【 例 6】 設(shè)由曲線 及 圍成 s in ( 0 ) ,2y x x ?? ? ?2?? 0y?平面圖形 試求平面圖形 繞直線 旋轉(zhuǎn)而成的 ,A A旋轉(zhuǎn)體的體積。 21??y的旋轉(zhuǎn)體的體積微元 就是矩形 分別繞直線 dV1S? 21??y分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問題，因?yàn)橹本€ 21??y以直代曲所形成的矩形為 則繞直線 旋轉(zhuǎn)而成 1,S? 21??y平行于 軸 , 所以繞直線 旋轉(zhuǎn)時(shí) , 取 積分變量。 x x21??y解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： (2) 求微元：對 [ 0 , ],2x ???[ , ] [ 0 , ] ,2x x d x ???軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，即 [0 , ].2x ??取 為積分變量 ,則 x繞直線 旋轉(zhuǎn)如圖 ， 21??y旋轉(zhuǎn)體的體積元素 是 對應(yīng)的矩形繞 xdV [ , ]x x dx? 21??y21( sin )2xd V x d x???12?12?xy0 x dx?x計(jì)算積分得： (3) 求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為 21??y2201( s in )2xV x d x?????2201( s in s in )4xV x x d x??? ? ??201 c o s 2 1( s in )24x x d x?? ?? ? ??201 1 1[ ( si n 2 ) c os ]2 2 4x x x x??? ? ? ?3( 1 )8???? 【 例 7】 計(jì)算底面是半徑為 2 的圓，而垂直于底面上一條固定 直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。 分析：此題為平行截面面積為已知的立體的體積。若選擇 積分變量為 , 如果能求出平面 x [ 2 , 2 ] ,x? ? ? xx?所截立體的截面面積 那么， ( ),Ax [ , ] [ 2 , 2 ]x x d x? ? ?所對應(yīng)的體積元素為 . ()dV A x dx?建立如圖所示的坐標(biāo)系， 解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： 則底圓方程為 22 ??取 為積分變量 , 所以 [ 2, 2] .x ??x （ 2）求微元：因?yàn)檫^點(diǎn) 的截面為等邊三角形（如圖）， 其邊長為 高為 x22 4 ,x? 2 32 4 .2x?所以截面積為 22213( ) 2 4 2 4223 ( 4 ) .A x x xx? ? ? ? ? ???因此 , 對 所對應(yīng)的體積元素為 [ 2 , 2 ] ,x? ? ? [ , ] [ 2, 2]x x dx? ? ?2( ) 3 ( 4 ) .d V A x d x x d x? ? ?（ 3） 求定積分：所求立體的體積為 22 2( ) 3 ( 4 )V A x
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